Асимптотика ортогональных многочленов и компактные возмущения оператора Якоби

• Автор: Кононова, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 87 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

1.1. Необходимые определения

1.2. Результаты Видома - Аптекарева

1.3. Связь между ортогональными многочленами, операторами Якоби и мерами на действительной оси

1.4. Теорема Вейля

ГЛАВА 2. Асимптотика ортогональных многочленов

2.1. Сильная асимптотика многочленов, ортогональных на системе дуг по мере, имеющей дискретную часть

2.1.1. Экстремальная задача и массы

2.1.2. Сильная асимптотика ортогональных многочленов
2.1.3. Явные формулы для экстремальных функций
2.2. Асимптотика отношения многочленов, ортогональных на наборе отрезков, при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс
2.2.1. Предельно-периодический случай
2.2.2. Относительная асимптотика многочленов, возмущенных добавлением масс
ГЛАВА 3. Компактность возмущения оператора Якоби

3.1. Компактность возмущения предельно-периодического оператора Якоби
3.1.1. Вспомогательные результаты
3.1.2 Необходимое и достаточное условие компактности
возмущения при добавлении конечного набора масс
3.1.3.Пример
3.2. Компактность возмущения оператора Якоби при комбинированном возмущении спектральной меры
3.2.1. Необходимое и достаточное условие компактности возмущения, р <
3.2.2. Условия компактности возмущения, р >
3.2.3. Условия компактности возмущения для случая спектральной меры с сингулярной составляющей
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Публикации по теме диссертации
Литература

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории ортогональных многочленов и теории операторов Якоби. Эти две области тесно связаны между собой. Многочлены, ортогональные по мере на действительной оси, удовлетворяют рекуррентным соотношениям, коэффициенты которых можно рассматривать в качестве элементов бесконечной трехдиагопальной матрицы Якоби. И наоборот: по матрице Якоби можно восстановить систему многочленов, ортогональных по некоторой мере на подмножестве действительной оси. При изучении спектральных свойств операторов Якоби большую роль играют асимптотические свойства ортогональных многочленов. В настоящей работе получены формулы сильной асимптотики для многочленов, ортогональных на подмножестве комплексной плоскости, состоящем из конечного набора контуров и точек, по мере, удовлетворяющей условию Сегё. В частности, они верны и для многочленов, ортогональных на подмножестве действительной прямой. С использованием асимптотических формул исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при изменении его спектральной меры (добавлением конечного числа дискретных масс и/или изменением весовой функции) с сохранением существенного спектра. Для некоторых классов операторов Якоби получено необходимое и достаточное условие компактности такого возмущения.
Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Т. Стильтьеса и ряда других авторов XIX века в процессе исследований по классической теории

С)п(г, р°) и на воспроизводящем свойстве экстремальных функций 'фп(г). Напомним, что свойство экстремальности многочленов в данном случае означает следующее:
. Основным результатом настоящего параграфа является
Теорема 4. Пусть Е є С2+ и р(£) удовлетворяет условиям (1-1) и (1.3), тогда
равномерно па компактных подмножествах £1 {щ. г%
множество дуг.
Доказательство.
Мы начнем с доказательства пункта 2), из которого следует пункт 1), и затем мы докажем пункт 3). Разобьем интеграл из пункта 2) на сумму трех интегралов и вычислим каждый из них:
тп(р°) = ||д„(М0)||2о= / т(°)2р(СМ + 2Шгк,р°)2
•1Е и л
1) тп(р°) ~ С(Е)2пт°(П, р, Г„), п -* ос;
2) / |ОД-"дп(С)-Ф°(С)|2Ж)ИСН0; ІЕ
3) Яп(г) = С(Е)пФп(г)[ф°(;г) + еп(г)}, где еп —> 0 при п —> оо
іп= I с(Е)-п<2п(0 - ф°(С)12р(СЖ1