Асимптотика спектра вариационных задач на решениях вырождающихся эллиптических уравнений

• Автор: Кыдыралиев, Сыргак Капарович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 73 c. : ил

§ 0. Предварительные сведения и обозначения

§ I. Весовые пространства Соболева. Уравнение связи.

Теоремы вложения

§ 2. Псевдодифференциальные формы и ПДО

§ 3. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая невырожденная связь

§ 4. Вспомогательные сведения из теории операторов в

гильбертовом пространстве

§ 5. Формулировки и доказательства основных теорем.

Модельный случай

§ 6. Формулировки основных теорем. Общий случай

§ 7. Формулировки основных теорем. Задача с вырождающейся связью

§ 8. Регулярность решений эллиптического уравнения
второго порядка, вырождающегося на границе области. Доказательство теоремы 7
§ 9. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая вырождающаяся связь. Доказательство теоремы 7
ЛИТЕРАТУРА
I, Диссертация посвящена задачам об асимптотике спектра одного класса операторов в гильбертовом пространстве. Характерной особенностью рассматриваемых задач является то, что это гильбертово пространство Н0 представляет собой подпространство более широкого пространства Н и выделяется условием типа Н0= ке& І, ? где - некоторый (вообще говоря, неограниченный) оператор в Н , ОООІІШ Н0 = + оо , Сам оператор, спектр которого исследуется, задается в вариационной постановке, т.е. с помощью отношения двух квадратичных форм
В [и]/А [ЗД , ІЬЄ Н0 , (X)
Точнее, речь идет об операторе Т в Н0 , таком, что
В Си,иИ = А [Ти,и] , Уи,іТєН0.
Здесь предполагается, что форма А положительна на Н0 ; сами формы А , В могут быть заданы на всем Н
Более конкретно: форма А имеет взад
А = Аа+ А0П , (2)

2# Жц об,
| Р (ф 1шт Ы Ю и Ц )
О. Ц1+1об21 «2р
(3)
А М= | 21 а^СофЮ^Ю^сІбсх), (4)
ап ці+іо^і*2р1
Числа р и - целые, Яб> — 'і , -О - ограниченная область в £т+/1 , £ШєС°°, уєП , ХЄд£ї, Ц=(Х,Ь)-

координаты в окрестности дП , р - регуляризованное расстояние до ЭЛ , интегрирование в (4) ведется по площади поверхности ЭЛ
Форма В имеет сходный вид с тем отличием, что числа р , р1 , 5 заменяются соответственно на § , (ц , <о , Коэффициенты в интегралах, выражающих Вп , &дО. обозначим
. Далее, во введении, для упрощения

формулировок предполагается, что *2(р-о)ї 2р|Н, 2Щ-б'р2ц +4
В качестве Н рассматривается, естественным образом связанное с формой А , весовое пространство Соболева -- Н^(Л) » подпространство Н0= Н ^ (Л, Ь)
выделяется "уравнением связи"
Ви= 0 , (5)
где [ - эллиптический дифференциальный оператор в -О или
вырождающийся оператор дивергентного вида
(6)
СКК^Ж/ •* і

ные функции;
Здесь 0<о6 < 1 ^ , 10 - гладкие в Л вещественX • V(^г)єлx| .
2. Если задачу о спектре отношения (I) рассматривать на всем соболевском пространстве, то ей соответствует задача о спектре некоторой граничной задачи для дифференциального уравнения Вг^ = ААк, в Л (см. [26], [зі]).
Если на функции сравнения накладывается связь типа ІІІ = О (эллиптически полная связь), то задача сводится к нахождению

Назовем порядком форм A_q > * А » величины
ог&Ап=2(р-6) , если АЛ^0 , и wd A_q=-oo ,
если Ад
если Ао^ = 0 »
owl А = шьхіаиік^, оьккъо)
3. Пусть L0(y, %) , ує П , рє R - старший
символ выражения L . Положим ^=(f,T), ІЄ"Г~(0Д){0} и рассмотрим уравнение (систему) на полуоси R +
L0(x,l$ = 0 , xedD. , teR+ . (6.4)
Обозначим через F(х, J) линейное пространство решений уравнения (системы) (6.4), таких что |(t)—>0 при £-^+<3°. На каждом из пространств F(CC,|) определим квадратичные формы
с£5Ш= L ft , (6.5)
W(I+M2I-?pJr+
ЭЛ °^_
».[Д- £ а^(*)[«+®р&хиуДО)
*-* i«y*u2K?P, p
(6.6)
t*0
и П0Л0ЛШМ
/AV i) /Av ЗЛ
aa,i “ ^Л^ах,1+ХдП^ах,^ * (6.7)
Здесь