Аппроксимация локальными L-сплайнами

• Автор: Стрелкова, Елена Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 88 с.

Глава 1. Локальные Г-сплайны с равномерными узлами, сохраняющие ядро линейного дифференциального оператора

§0. Введение

§ 1. Операторы четного порядка

§ 2. Операторы нечетного порядка

§ 3. Оценка погрешности аппроксимации

§ 4. Частные случаи общей схемы

Глава 2. Локальные Г-сплайны третьего порядка с произвольным расположением узлов

§ 0. Введение

§1. Построение Г-сплайна и его свойства

§ 2. Поточечная и равномерная оценки погрешности аппроксимации

Глава 3. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем
§0. Введение
§1. Построение и свойства параболического сплайна
§2. Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных
Список литературы
Список работ автора

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и £-сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем. Изучаемые в диссертации одномерные неинтерполяционные локальные сплайны, как правило, обладают формосохраняющими и сглаживающими свойствами. В вычислительной математике задача построения по дискретным данным кривых и поверхностей сложной формы с сохранением выделенных геометрических характеристик (таких, как положительность, монотонность, выпуклость, наличие плоских участков и т.д.) называется задачей изогеометрической аппроксимации. В настоящее время такие трехмерные вычислительные схемы (построенные на основе одномерных конструкций) используются для моделирования самолетных поверхностей, корпусов судов, лопастей гидротурбин, при описании различных геологических, физических и биологических явлений, а также при обработке изображений, в картографии, томографии, индустрии фильмов и т.д.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе построены локальные £-сплайны с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора £г = СГ{Т>) (V - оператор дифференцирования) произвольного (фиксированного) порядка г с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Найдены поточечные оценки погрешности аппроксимации (в интегральной и равномерной метриках) построенными сплайнами на классах функций, задаваемых с помощью линейных дифференциальных операторов порядков меньших, чем г.

Во второй главе построен неинтерполяционный линейный метод локальной сплайн-аппроксимации ^-сплайнами третьего порядка с произвольным расположением узлов, соответствующими самосопряженным линейным дифференциальным операторам вида £% = £з(2?) = Т)(Т>2 ± ß2). Этот метод обладает сглаживающими свойствами и сохраняет локально свойство монотонности и свойство, близкое к выпуклости исходных данных (значений аппроксимируемой функции / в узлах сетки). Точно вычислена величина погрешности приближения соболсвских классов W& (£2 = C2(V) = V2 ± ß2) такими сплайнами в равномерной метрике. Данные результаты развивают и обобщают предшествовавшие исследования в этом направлении Ю.Н. Субботина [13], В.Т.Шевалдина и К.В.Костоусова [7,19,21].
В третьей главе изучаются аппроксимативные и формосохраняющие свойства локальных параболических сплайнов вида
S(x) = S(f,x) = ^ bj(f)Bz(x — jh) (.h > 0),

где Вз(х) - нормализованный (в 5оо) параболический 5-сплайн (определение см., например, в [3,6]) с равномерными узлами — §,§, y и
носителем supp S3 = [—у, • Функционалы bj = hj(f) задаются для
произвольной функции /, определенной и интегрируемой на всей оси М, при помощи равенств

bj(f) = J ftih + С*11 >^,j ez).
На классе функций с ограниченной почти всюду на всей оси К второй производной точно вычислена величина погрешности аппроксимации функций / и их производных указанными сплайнами в равномерной метрике.
Дадим необходимые определения и сформулируем известные результаты.

[xj, Xj+l|2. Функцию /(ж) запишем в виде

/(ж) = С сЬ /3(ж — х^) + С2$Ъ.(3(х — х$) + — У и{€) зЬ/3(ж — Ь)сИ,
где «(#) = £2(£>)/(*)- При Ж £ [ж;, Ж^+1/2] ИМввМ
5/ ч = +
2 вИ эП + /1^—1) бИ /3/гу
эЬ сЬ Ё±Ас*[у]-Ъ У], Уэ+1]
5 Ь§(Л,- + Лу_х) эЬ сЬ ^А£г [2/у—1 з У у У3+1}

вЬ/3(ж — ж^-) э1г /5/г,7Уз+1 - У/<Л/%

+ сЬ/3(ж - ж) у] +
(2.8)
2 бЬ |(/г;;- + /г-^-х) вП ^ эЪ /3/гу Группируя слагаемые при у2_х, Уj, уу+х и учитывая (2.5), получаем
-ЗД = %

бЬ2 |(ж - Ж^+х/з)
бЬ бЬ. |(Л7- + /^_х) бЬ/З/^-х

+ ^ИхДа^+х - ж) _ зЬ/Э(^~ + ^_х) бЬ^^-бЬ2 |(ж - я,+1/2)
^ у эЬ/ЗЛ-у 8Ь ^ бЬ |(/х7- + /г.у_ 1) бЬ/З/г^-х бЬ/3/г.у у

БЬ^рйЬ2 |(ж - ж^+1/2) + бЬ/3(ж - я, Л _ бЬ ^ бЬ |(^ + /г^_х) бЬ Вк^ Л /3к3- у
Xj _ 1 '
С сЬ/З/г^-х — С-2 эП /ЗЛу_х + ^ J и(1) эЬ/3(ж;-_х — £)еЙ

5Ь2^18Ь2|(ж - Ж^+х/2)
+%+Х
бЬ —*■ бЬ |(Л.^- + /г-у_ 1) яЪ/Зк]^
_ /бЬ/З^+х - ж) _ б11/3(/^ + Ух) йЬ кЬ2 |(ж - ж^+х/2) у бЬ/З/^- зЬ ^ бЬ ^(/т,- + /^-х) бЬ/З/^-х эЬ /3/гу )

( х3+1
Сх сЬ/5/гу + С2 бЬ/З/г,- + J и(Ь) sЪ.|3(xj+l — £)<&