Определяемость абелевых групп группами гомоморфизмов

• Автор: Береговая, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 92 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ ГРУППАМИ л ГОМОМОРФИЗМОВ
§1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без 4{ кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где
С — векторная группа
ГЛАВА II. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ СВОИМИ КОЛЬЦАМИ (ПОЛУГРУППАМИ) ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ
§1. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и

группами гомоморфизмов Нот(С,А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — векторная группа
§3. Определяемо сть некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУП-
ПАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ
§1. Предварительные результаты
§2. сН- и с^+#-°пРеДеляемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомомор-1 физмов
I ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. Начало теории абелевых групп положили работы Понтрягина [1], Мальцева [2], Куроша [3], Дэрри [4], Прюфера, Ульма, Куликова и др.
Глубокая структурная теория периодических абелевых групп позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга неизвестно никакой удобной полной системы инвариантов [5].
Важной задачей теории абелевых групп является установление связей между свойствами группы и свойствами групп гомоморфизмов и колец (полугрупп) эндоморфизмов. Вышеуказанная тематика рассматривалась многими авторами. Для классов периодических групп, вполне разложимых абелевых групп без кручения, векторных групп Гриншпон [6], [7] и Себельдин [8], [9], [10] дали полный ответ на вопрос, когда из изоморфизма групп эндоморфизмов двух групп из одного из рассматриваемых классов следует изоморфизм самих групп (проблема 42 [11]).
В тех случаях, когда для определяемости абелевой группы А изоморфизма групп эндоморфизмов недостаточно, естественно возникает необходимость рассмотреть связи между группами Аи В вида Нот(С,А) = Нот(С,В) для некоторых абелевых групп С. Задачи такого типа решались рядом авторов (см. [12], [13], [14]). В частности, будем говорить, что абелева группа А из некоторого класса
1. С содержит прямое слагаемое, изоморфное Ъ;
2. С имеет конечный ранг.
Доказательство. Достаточность доказана в теореме 1.1, так
как, в силу условия 2 теоремы, векторная группа С = П С< = ф^ С*
является вполне разложимой.
Необходимость второго условия теоремы доказана в теореме 8.1.
Необходимость первого условия вытекает теперь из теоремы 1.1.
Теорема 10.1.(ОГК) Пусть С — векторная группа. Класс 9^
однородно разложимых абелевых групп без кручения А= ф А^Т
те(1(А)
где А^ ® А^ = А^ для любого т Е £2(Д), является сН-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет следующим условиям:
1. С содержит прямое слагаемое, изоморфное Ъ;
2. П(С) содержит только идемпотентные типы;
3. С имеет конечный ранг.
Доказательство. Достаточность. Пусть группы А = ф А^Т
т€П(Л)
В = ф В('т'') из л и группа С удовлетворяет условиям 1, 2 и
т'€П(В)
теоремы, то есть С = П С* = ф Ск, где С = Ъ, г(Ск) = 1 и все С*
к=1 к=
идемпотентных типов.
Тогда из изоморфизма Нот(С, А) = Нот(С, В) следует изоморфизм
ЛфЯотп(0 Ск,А) £* Я0Яот(0 Ск,В).
к=2 к=
Учитывая [17] и г(С) < Ко, имеем:
Л0[0 0 Нот(Ск) ^4(т)) | — ■# 0 ( 0 0 Нот(Ск,В^),
к=2 г€Я(Л) / к=2т'еЩВ) )