Квадратичное отклонение плоских сеток

• Автор: Вронская, Гульнара Ташканбаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Глава 1. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов
§ 1. Неоднородное сравнение по приведенной системе вычетов
§ 2. Однородные сравнения по приведенным системам вычетов
§3. Суммы по приведенным системам вычетов
§4. Две леммы о произведении синусов
§ 5. Произведения но приведенной системе вычетов
§ 6. Оценка минимума БЦДсиа5) по а]а5
§7. Рекуррентная оценка минимума Б^си а5+1) через
(0-1 > • • • , Об)
§8. Асимптотическая формула для сфИ)
Глава 2. Квадратичное отклонение плоских сеток
Хэммерсли
§1. Степенные суммы с функцией ван дер Корпута — Хэммерсли
§ 2. Квадратичное отклонение
§3. Среднее арифметическое квадратичных отклонений
плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота
Глава 3. Двумерные сетки Воронина
§1. Полная система вычетов по модулю целого гауссова числа
§2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова
числа
§3. Быстрый алгоритм вычисления функции Н2(М(Л(ц)))
§4. Среднее арифметическое квадратичных отклонений
плоских модифицированных параллелепипедальных сеток
Литература
Указатель обозначений
Диссертация выполнена на кафедре теории чисел Московского педагогического государственного университета и затрагивает ряд вопросов диофантовых приближений и их приложения к проблемам численного интегрирования.
Актуальность темы. В 1957 году вышла первая работа [37]
Н. М. Коробова, с которой начинается отсчёт в становлении теоретикочислового метода в приближенном анализе. Краткая история возникновения этого метода содержится в [49]. Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [73] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1.
Цель первой главы — реализация метода усреднения Н. М. Коробова для доказательства существования оптимальных коэффициентов для любого составного модуля N.
В 1991 году профессорами Н. М. Коробовым и В. И. Нечаевым на семинаре в МГУ при обсуждении кандидатской диссертации В. С. Вань-ковой [9] была поставлена задача о вычислении квадратичного отклонения плоской сетки Хэммерсли. В работах В. С. Ваньковой, в частности, исследовалось среднее арифметическое квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота и были получены оценки сверху для этого среднего. Задача Коробова — Нечаева подразумевала и получение асимптотической формулы среднего для плоских сеток.
Цель второй главы — получение быстрых алгоритмов вычисления значений величин важных характеристик качества полных сеток Хэммерсли: Н2(Х(Р)) и 02(Х(Р)) за 0(1пР) арифметических операций, ана
Глава 2. Квадратичное отклонение плоских сеток
Хэммерсли

(^2к=2_'~£г+к^2“1^_4Р + 1) + 2Р+2' (214)
Доказательство. Действительно, суммируя ШДу) по у и применяя лемму 22, получим
рк-1

У—о
Используя теорему 10 при вычислении последней суммы, найдём
р^-1—1 рк_1
+4(2р-1)^Т + 0 +3(р-1)р] + 12^0х(у) + 2х(у)(2р —1 и
1 /(рк-] - 1) (2рк-'- 1) рк-’- 1
= — ^ ^2к=2 + 2(2Р ~ ^ рк-1 + 3(Р - 1 )Р^ +
11лс11 , (2р — 1) (рк-1 — 1) _ ^ ^ 4р + 1 , ,, , ,
+ 125к'_, + ^ - ^7 (^^2к=1 ~ ' р"к~I ■ + (Зр + 1 )ру +
, (1с-1)(р2-1)-бр 3 2р
+3 + ^к + ^2к=2 + 2Р - 1 - "рк“
(2.16)
Из (2.15) и (2.16) следует утверждение леммы.
Теорема 11. Справедливо равенство
с2,1 1 , к(Р2 ~ 1) ~ 5Р к(Р2 ~ 1 ) — 4р 1_
к 6 12рк+1 12р2к+! 12р3к' К >