Применение принципа компактности для приближенного решения интегральных уравнений второго рода

• Автор: Исомаддинова, Раънохон Мирзохамдамовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Основные понятия и утверждения
§ 1. Сеточные функции и их свойства
§ 2. Метод механических квадратур
Глава II. Приближенные решения дифференциальных и интегральных уравнений в непрерывном случае
§ 3. Двухточечная краевая задача для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
§ 4. Случай однозначной разрешимости
§ 5. Случай неоднозначной разрешимости
§ 6. О сходимости приближенных решений
§ 7. Априорные оценки приближенных решений
Глава Ш. Приближенные решения интегральных
уравнений с разрывным ядром
§8. Случай слабо сингулярного ядра
§ 9. Априорные оценки
§ 10. Сходимость приближенных решений
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений составляют важное направление в теории приближенных методов решения математических задач. Эти методы приобрели особое значение в связи с возникновением дифференциальных и интегральных уравнений в прикладных задачах: теории упругости, гидро-и аэродинамике, физике элементарных частиц и др. (см., например, [17, 18, 23, 27, 40, 43, 45, 52, 53, 56] и имеющуюся там библиографию). В общей теории приближенных методов основополагающую роль сыграли фундаментальные работы Л.В.Канторовича, Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова, Г.И.Петрова, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского и др. (см., например, [36, 37, 41, 42, 48, 51] и имеющуюся там библиографию).
Одним из самых эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод механических квадратур (ММК). Он широко распространен на практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений (см., например, [14, 15, 35]). Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применялась еще в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта. В 1904 г. Фредгольм используя формулу прямоугольников заменял интегральное уравнение с непрерывным ядром на СЛАУ. Позднее Гильбертом было дано доказательство сходимости решений СЛАУ к решению интегрального уравнения (см., например, [59]). Использование СЛАУ для приближенного решения интегральных уравнений получило дальнейшее развитие в работах финского математика Нистрёма, который применял и более точные квадратурные формулы (см., например, [61, 62]).
Созданный А.Н.Тихоновым [51] метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач позволил глубже применять ММК для приближенного решения интегральных уравне-

ний, в частности интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Применению метода регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода посвящены ряд работ Б.Алиева (см., например, [2 - 5]).
Разработанный С.М.Никольским [45] простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул позволяет находить точные оценки скорости сходимости приближенных решений интегральных уравнений (см. также [1, 39, 50]). Построению наилучших квадратурных формул посвящены ряд работ М.Шабозова (см., например, [54, 55]).
Численным методам решений интегральных уравнений с разрывными ядрами, наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, посвящены большое количество работ К.И.Бабенко, С.М.Белоцерковского, Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, И.К.Лифанова, А.Ф.Матвеева и др. (см., например, [6, 7, 11 - 13, 19, 20, 24, 40, 47, 57, 58, 60]).
Дальнейшее изучение ММК для приближенного решения интегральных уравнений второго рода остается актуальной и важной как с теоретической, так и с практической точек зрения. Особенно важными являются следующие вопросы: применение ММК к интегральным уравнениям с разрывным ядром, рассмотрение случаев наличия спектра, указание номера, начиная с которого СЛАУ, к которой приведено интегральное уравнение разрешима.
Цель работы. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Ьи = н(л)- _[-К(5Д)н(/)<Л = /(5), Л<5<&, (0.1)

с непрерывными и слабо сингулярными ядрами на основе ММК и принципа компактности получить новые утверждения о приближенных решениях, как в случае однозначной разрешимости, так и в случае наличия спектра.

Интегральное уравнение (3.11) это уравнение Фредгольма второго рода. Приближенное решение этого интегрального уравнения будет приближенным решением краевой задачи (3.1)-(3.2).
Отметим, что в большинстве случаев метод конечных разностей для краевых задач вида (3.1)-(3.2) эквивалентен методу механических квадратур решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для подтверждения сказанного рассмотрим следующую краевую задачу:
где F(t, и) = /(0 - Лr(t)u(t). Составим для этой задачи разностную схему:
Исключая из системы уравнений (3.16)-(3.17) и0, получим систему п линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с п неизвестными: -2м, +u2=g,
(3.14)
(3.15)
и(0) = 0, и'(1) = 0,
ui-i - 2ui + им
(3.16)

(3.17)

w,._i - 2+ uM = g,, i = 2
Un-l ~Un=gn’
где g, = h2F„ i = 11, gn = 0.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка и>1:
(3.18)