Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью формализации операций компьютера

• Автор: Строганов, Андрей Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Проблемы построения методов решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем
1.1 Различные подходы для получения аналитических и численных
решений дифференциальных уравнений
1.2 Численные методы решения задачи Коши, их достоинства и недостатки, разностный подход
1.3 Проблема связи получения явного и численного решений на основе разностных схем
1.4 Модельная задача для изучения свойств метода
Глава 2. Представление решения в методе компьютерной аналогии
2.1 Системы счисления и представление чисел в вычислительных
устройствах
2.2 г-система счисления
2.3 Представление решения дифференциальных уравнений в виде ряда по степеням шага аргумента
2.5 Операция переноса разрядов
2.6 Оценка отбрасываемой части ряда при приведении решения к отрезку
ряда фиксированной длины
Глава 3. Стохастические свойства решений в методе компьютерной аналогии
3.1.Случайные числа и генераторы случайных чисел. Методы оценки
качества генераторов случайных чисел
3.2. Стохастическое поведение коэффициентов в т-представлении решения
3.3 Моделирование случайного и квазислучайного поведения коэффициентов
3.5 Оценка свойств последовательностей чисел и использование получающихся случайных чисел в разрабатываемом методе
3.6 Свойства самоподобия величин переноса

Глава 4. Применение метода компьютерной аналогии для решения нелинейных дифференциальных уравнений
4.1 Алгоритм построения решения методом компьютерной аналогии
4.2 Построение неполного решения для задачи (1.5)
4.3 Построение полного решения для задачи (1.5)
4.4 Система нелинейных дифференциальных уравнений
Глава 5. Задачи, не разрешимые в квадратурах или не имеющие решения в элементарных функциях. Выявление качественных свойств решения
5.1 Примеры решения задача Коши для уравнений, неразрешимых в
элементарных функциях
5.2 Задача Коши для уравнения Риккати
5.3 Получение явного решения методом компьютерной аналогии для системы нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющей известного аналитического решения
5.4 Асимптотическое решение
5.5 Осциллятор Ван дер Поля. Исследование поведения решения
Заключение
Литература
Введение
Многие научные, технические, экономические и другие задачи приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Однако, класс дифференциальных уравнений (см. например [1-3]), допускающих аналитическое решение, достаточно узок. Поэтому обычно не удается избежать численного моделирования. Заметим, что в некоторых случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но требует большого объема алгебраических выкладок, компьютерные методы могут оказаться даже предпочтительнее аналитических, так что эти подходы в принципе способны взаимодополнять друг друга. И хотя применение современной компьютерной техники дает возможность разрешать многие сложные задачи, поиск аналитических (или полуаналитических) подходов не теряет актуальности. В отличие от численного, решение в явном аналитическом виде позволяет получить больше информации о задаче, увидеть решение в целом с его качественными особенностями, асимптотиками и т.д., - что важно, например, для физического описания явлений. Также существенно, что аналитические решения, даже частные, могут являться тестами, играющими большую роль при разработке численных методов.
В классических численных подходах используется вычислительное устройство (компьютер), определяющее представление решения фактически в виде чисел. Тем самым теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Также существенными являются вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием и т.д. Поэтому возможность получения явного представления решения привлекательна. Поиск новых методов (тем более обладающих достаточной общностью), которые приводили бы к получению явных аналитических решений является актуальной задачей.

определяются аналогично:
(2.31)
2.6 Оценка отбрасываемой части ряда при приведении решения к отрезку ряда фиксированной длины
В пп 2.5. было показано, что представление решения в виде отрезка ряда (2.17) фиксированной длины по степеням г в общем случае не может обеспечивать сходимость ввиду неограниченного роста коэффициентов.
Введенная нами в пп. 2.6 операция переноса разрядов позволяет гарантировать, что разряды в представлении решения не превзойдут некоторой величины, в частности 1/г. Априорная оценка р в (2.17) в общем виде является достаточно сложной задачей. Тем не менее, постараемся оценить величину 5 , я+1, отбрасываемую при переходе с п -го шага на
(« + 1)-й по формуле (2.19).
Теорема 2.3 Пусть решение на п-ом шаге представлено в виде (2.17). Для получения представления на (п+1) - ом шаге используется выражение (2.19), которое может быть перегруппировано по степеням г. Затем члены со степенями г, превосходящими р отбрасываются. Обозначим их сумму как 5р+1 я+1 Тогда справедливо следующее неравенство:
Для доказательства сформулируем несколько вспомогательных утверждений.