Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики

• Автор: Ердакова, Надежда Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Глава 1. Компьютерные и статистические методы в динамических системах с большим числом степеней свободы
1.1. Статистическое описание одномерного газа. Статистическое
равновесие и слабый предел
1.2. Модели систем, постановка вычислительного эксперимента,
программный комплекс
1.2.1. Модели систем одномерного газа
1.2.2. Постановка вычислительного эксперимента
1.2.3. Описание интерфейса программного комплекса
1.3. Результаты компьютерного эксперимента
1.3.1. Идеальный бесстолкновительный газ в отрезке
1.3.2. Идеальный бесстолкновительный газ в гравитационном поле
1.3.3. Идеальный бесстолкновительный газ с движущимся тяжелым поршнем
1.3.4. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы
1.3.5. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы. Релятивистский случай
1.4. Аналогия с биллиардом

Глава 2. Динамика двух точечных вихрей в кольцевой области
2.1. Уравнения движения вихрей и их гамильтоново представление
2.2. Интеграл момента и редукция к системе с одной степенью свободы
2.3. Качественный анализ динамики при равных по модулю интенсивностях
2.4. Методы численного анализа и описание интерфейса программного комплекса
2.5. Классификация движения вихрей при равных по модулю интенсивностях
2.5.1. Случай равенства абсолютных значений интенсивностей вихрей. Абсолютная динамика и хореографии
2.5.2. Случай вихревой пары
2.6. Предельный переход в систему двух вихрей в полосе
Глава 3. Томсоновские конфигурации вихрей в кольцевой области
3.1. Представление гамильтониана системы вихрей в кольцевой области через эллиптические функции
3.2. Типы критических точек и их устойчивость
3.3. Томсоновская конфигурация двух вихрей и ее устойчивость
3.4. Томсоновские конфигурации системы N вихрей (А ^ 3) и их устойчивость
3.5. Предельный переход в систему вихрей вне цилиндра
Заключение
Литература

Актуальность темы
В настоящее время в связи с бурным развитием компьютерных технологий с одной стороны и методов качественного анализа динамических систем с другой стороны появляются новые возможности для исследования нерешенных проблем нелинейной динамики. Актуальной задачей становится разработка современных компьютерных комплексов, с помощью которых можно изучать динамику сложных систем, в том числе с большим числом степеней свободы. Численно реализованные топологические методы в нелинейных интегрируемых системах и выполнение компьютерных исследований при изучении систем многих частиц ведет к новым результатам в областях динамики, где чисто аналитические методы не позволяют получить описание эволюции системы.
В диссертационной работе представлены аналитические и численные методы нелинейной динамики и статистической механики, с помощью которых, с одной стороны, можно исследовать динамику интегрируемых систем, с другой стороны — анализировать вопросы, связанные с проблемами статистической механики в системах с большим числом степеней свободы.
Изучение вопросов неравновесной статистической механики, главным образом, анализ механизма стремления динамической системы к состоянию термодинамического равновесия, подробно развиваемый в работах В. В. Козлова [46, 47], является крайне значимой задачей нелинейного анализа, прикладной и теоретической механики. Несмотря на многолетний интерес к данной проблеме, восходящей к работам Гиббса и Пуанкаре, эти вопросы и по

вихря, индекс к нумерует образы вихрей в ряду и принимает целочисленные значения в интервале (—оо, +оо).
Замечание. Такой выбор изображений гарантирует, что граничные окружности являются линиями уровня функции тока Ф(г,г), то есть граничные условия (2.2) заведомо выполняются.
Для построенной таким образом последовательности вихрей можно записать функцию тока Ф в момент времени £ в произвольной точке пространства г

Ф(г,£)

а=1 /с
г-д 2кга{і)

~д~2кга(і)
(2.4)

где га(£) — радиус-вектор а-го вихря в момент времени £.
Замечание. Можно показать, что этот ряд сходится абсолютно при всех значениях г и га, так как его можно мажорировать суммой рядов вида
£>(1+С(Г
(10
к—г
где С - некоторая константа, а п выбирается таким образом, чтобы |1 + Сд 2п| < 1. Ряд (Г) сходится вследствие признака Д’Аламбера
1п(1 + Сд~2к) Сд-2к + 0{д-2к~г)
1п (1 + Сд~2(к+1)) Сд~2(-к+1) + <Э(д-2к-3)
д~2 + 0(д-%
С помощью найденной функции тока (2.4) получим уравнения движения вихрей в кольцевой области

(2.5)