Распространение длинных волн в сжимаемых жидкостях

• Автор: Елемесова, Ботагоз Николаевна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 146 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Простые волны в слое баротропной
завихренной жидкости :
§1. Предварительные сведения
§2. Существование простых волн. Свойства решения
§3. Построение точного решения типа простой волны
Глава И. Простые волны на сдвиговом потоке газа
в канале постоянного сечения
§4. Существование и свойства простых волн
§5. Построение точного решения
Глава III. Распад начального разрыва в баротропной
завихренной жидкости
§6. Предварительные сведения
§7. Волна взаимодействия потоков
§8. Решение задачи о распаде произвольного разрыва
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена изучению завихренного плоскопараллельного течения сжимаемых жидкостей в приближении теории длинных волн. Жидкость может быть тяжелой и невесомой, границы жидкости могут твердыми (течение в канале) или одна из границ может быть свободной (течение слоя жидкости).
Волновые процессы в жидкостях были предметом изучения более ста лет. Изложение основных работ можно найти в монографиях Сретенского Л.Н. [1], Кочина Н.Е., Кибеля И.А., Розе Н.В. [2], Лайтхилла Дж. [3], Уизема Дж. [4], Стокера [5]. При рассмотрении волновых движений в жидкостях различают точную и приближенные теории. Под термином ” точная теория” понимают совокупность утверждений, справедливых при точном выполнении законов сохранения и массы. Точные результаты составляют наименьшую часть всех достижений в теории волн. Теоремы существования стационарных решений, относящиеся к плоским задачам, доказаны в [6]. Вклад в точную теорию неустановив-шихся движений сделан рядом авторов в монографии [7]. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши-Пуассона и, впервые в точной постановке, существование трехмерной стационарной двоякопериодической волновой структуры. Построению точных решений полных уравнений гидродинамики на основе методов группового анализа при наличии плоской или вращательной симметрии, а также их физической интерпретации посвящена монография [8]. В [9] изложен общий метод выделения классов решений систем дифференциальных урав-
нений — метод дифференциальных связей. Этот метод в качестве частных случаев содержит методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных решений и автомодельных решений.
Большинство же исследований по теории волн концентрировались на различных приближениях. Наиболее развита линейная теория, которая разработана для плоской и пространственной постановок, для неустано-вившихся и стационарных движений, для поверхностных и внутренних волн. Очень важные нелинейные приближения дают теории мелкой и глубокой воды, предназначенные для описания длинных и коротких волн. Особое место занимают энергитические приближения Уизема, опирающиеся на вариационные методы [10].
В данной диссертации рассматривается приближенная теория длинных волн (теория мелкой воды), в которой горизонтальный масштаб много больше вертикального. Такой приближенной теорией описываются, например, течения газов в узких каналах(трубах), когда длина канала много превосходит его ширину, течения в открытых каналах, все крупномасштабные движения атмосферы (горизонтальная протяженность характерных образований в атмосфере: циклонов, антициклонов и т.д. короче говоря, волн, во много раз больше толщины деятельного слоя атмосферы — тропосферы).
Различные уравнения длинных волн и их исторический обзор приведены в [11, 12], где было показано, что важную роль при выводе этих уравнений играют параметр нелинейности сг, параметр дисперсии е2 и их отношение а/е1 (а =амплитуда волны /средняя глубина потока; е1
В дальнейшем рассматривается монотонный профиль скорости щ ф О, и для определенности, считается, что «од > 0. (задача (2.5)~(2.7) на интервале [О, Л*] сводится к задаче на интервале [0, 1] растяжением переменной А).
При доказательстве существования простых волн будем опираться на теорему существования и единственности решения задачи Коши для нелинейного уравнения в банаховом пространстве В:
= 7). 0(4») = бо- (2.8)
Здесь f(Ü,Tj) — функция вещественного аргумента г? и переменного U £ В, принимающая значения в В.
Пусть функция /(0,1?) непрерывна по т) и удовлетворяет при Ч] £ [а, b], \Ü — По|| < 0 условиям
11/(0,1011 < мь 11/(01, V) - /(0a,*?)'И < Щйх - Щ. (2.9)
Тогда, согласно [91], существует число <5j (<5i = min(0Mf1, Mf1)), такое, что на интервале (r)m — 6, т]т + <$х) П [а, 6] задача Коши (2.8) имеет единственное решение Ü — ф(щ), остающееся в шаре ||<р(т?) - Üq\ < в.
Чтобы воспользоваться приведенным результатом рассмотрим банахово пространство В вектор-функций U — (и,Н,к) действительного ар-