Задачи определения предельного состояния слоя из идеального сжимаемого жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами

• Автор: Целистова, Алла Анатольевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 71 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Предельное состояние плоского слоя из идеального изотропного сжимаемого жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами
§1. Постановка задачи. Основные соотношения и предположения
§2. Определение компонент напряженного состояния
§3. Определение поля скоростей перемещений
§4. Разложение решения Гартмана. Сравнение с полученным
решением
ГЛАВА II Предельное состояние плоского слоя из идеального анизотропного сжимаемого жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами
§1. Аналитическое решение плоской задачи о сжатии идеальнопластического сжимаемого анизотропного слоя шероховатыми плитами
§2. Случай винтовой анизотропии. Ортотропная анизотропия
ГЛАВА III. Пространственное течение слоя из идеального сжимаемого жесткопластического материала, сжатого шероховатыми
плитами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Теория идеального жесткопластического тела является одним из классических разделов механики твердого деформируемого тела, таких, как линейная теория упругости при малых деформациях, теория идеальной вязкой жидкости и. т. д.
Характерной особенностью соотношений теории идеальной пластичности является нелинейность исходных дифференциальных уравнений за счет условия пластичности. Это обстоятельство приводит к определенным математическим трудностям при решении задач, при этом в теории пластичности в основном используются численные методы. Развитые численные методы достаточно эффективны, но, как всегда, особый интерес представляет определение точных решений исходных уравнений, являющихся во многих случаях эталонными и позволяющих рассматривать аналитическую зависимость между параметрами решения.
Классические решения плоской задачи теории идеальной пластичности были даны Л.Прандтлем [47] в 1923 году. Им были решены задачи о вдавливании жесткого штампа в пластическое полупространство и полосу, а также было дано аналитическое решение задачи о квазистатиче-ском сжатии слоя из идеального жесткопластического материала между двумя сближающимися параллельными шероховатыми плитами; линии скольжения образуют сетку циклоид, поэтому это решение получило в литературе название «циклоидального решения Прандтля». Согласно этому решению касательное напряжение на поверхностях контакта плит и обжимаемого материала постоянно и равно пределу текучести этого материала на сдвиг.
Существенно, что решение Л.Прандтля является неавтомодельным, оно получено полуобратным методом, впервые предложенным Сен-

Венаном. В качестве исходного предположения Л.Прандтль положил линейную зависимость касательного напряжения вдоль толщины пластического слоя, а предельное нормальное давление определил в виде линейной функции по длине слоя. Решение Л.Прандтля широко используется в теории обработки металлов давлением, оно послужило основой для многочисленных обобщений.
А.Надаи [45] дополнил решение Л.Прандтля, построив поле малых перемещений, впоследствии построению А.Надаи был придан смысл поля скоростей перемещений в рамках теории течения идеальной жесткопластической среды. Решение Прандтля-Надаи имеет место на достаточном удалении от свободного края слоя и носит асимптотический характер.
A.Грин [70] дал геометрический вывод формулы А.Надаи и построил годограф скоростей.
B.В.Соколовским [58] проведено численное решение задачи о сжатии полосы частично шероховатыми плитами с силой трения (<к в предположении, что плиты длиннее полосы и перекрывают ее концы. Решение проводится путем разбиения области течения на подобласти, в каждой из которых решается своя краевая задача; в конечном счете решение задачи приводит к комбинации краевых задач для канонической системы уравнений. Построена сетка линий скольжения, поле напряжений и скоростей. В.В.Соколовским [58] численно решена задача о сжатии полосы параллельными шероховатыми плитами, обладающими силой трения I - к. Проведен подробный анализ решения Прандтля-Надаи. Асимптотическое решение Л. Прандтля удовлетворительно согласуется с результатами точного решения при достаточной протяженности плит. Полученные выводы хорошо подтверждаются результатами опытов В.Риделя над пластическими массами [45].

4п^ 1 -у2 + 5Х+— 1п|1-_у2| + (2а1-4л)—^= + 4иагс8ту

- 2яу2 + 2{ал - 4и)_у + (2п - ах )1п
+ у

ГВХ тЛ — + —
V 2 4 у
+ 4и-у/1-^ агсэт >> , (1.3.28)
/------ (В 71^
у'2 = 2п(2у + 1)агс8т у + 2 д/1 - у2 (пу + 4п - а1)+ — + —
V 2 4,

+уЫ1-у -2 у
Следовательно, согласно (1.3.17), (1.3.22), (1.3.28), определены
компоненты скорости перемещения в первом приближении

А-Ап-^Х-у2 ~(Вг Я
1п1-/
2у(а1 -2 п)
• 4п агсьт у

-2пу2 + {2ах -8я-с1)>| + (2и-а1)-1п

-2д/Г

/ /о / . ЛЛ
+ 1п1-.у2 • 4л-2я1 + -у + ^ ■(1 + л/1_^2/ +(2^+я:(1-а1)-2»11>')

(1.3.29)

= 2(а1 + и(2^ + 1))агсзт >' + 2 д/1 -у2 (п(у + 4) - а,)+
'Я! ЯЛ

V 2 4 у

У + 1 у-
+ уЫ1-у -2у
-Аул- слх + с2.