Спорадические простые группы и их геометрии

• Автор: Иванов, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 219 с.

Оглавление
1. Введение
1.1. Основные определения
1.2. Морфизмы геометрий
1.3. Амальгамы
1.4. Геометрические амальгамы
1.5. Универсальные пополнения и накрытия
1.6. Основные результаты
2. Мо
2.1. Основные свойства
2.2. Тильда геометрия группы Мо
2.3. Максимальная параболическая геометрия
2.4. В направлении к Бэйби Монстру
2.5. 2£6(2)-подгеометрия
2.6. В направлении к группе Фишера М(24)
2.7. Отождествление М(24)
2.8. Группы Фишера и их свойства
2.9. Геометрия группы Хельда
2.10. Граф Бэйби Монстра
2.11. Односвязность геометрии 0(ВМ)
2.12. Второй граф Монстра
2.13. Единственность амальгамы типа Монстра
2.14. Односвязность геометрий Я(М) и %{М)

3. 2-накрытия Р-геометрий
3.1. Свойства Р-геометрий
3.2. Необходимое условие
3.3. Нерасщепимые расширения
3.4. Геометрия 5(323 Со2)
3.5. Случай ранга 5: ограничение ядра
3.6. Геометрия £(34371 ВМ)
4. У-группы
4.1. Исторические замечания
4.2. Теорема о 26 вершинах
4.3. От У-групп к У-графам
4.4. Некоторые ортогональные группы
4.5. Группы Фишера как У-группы
4.6. Монстры
5. Заключение
5.1. Геометрии Титса
5.2. Л/17-геометрия
5.3. Симплектические геометрии над GF{2)
5.4. От классических к спорадическим геометриям
5.5. Геометрии Петерсена и тильда геометрии
5.6. Представления геометрий
5.7. Этапы классификации
5.8. Следствия и развития
5.9. Терминология и обозначения

Глава 1.
Введение
Спорадические простые группы - по-видимому самые удивительные объекты современной алгебры. Открытие спорадических простых групп и, в особенности, наибольшей из них - Монстра, считают одним из наиболее важных вкладов в математику классификации конечных простых групп. Некоторые из спорадических простых групп были исходно открыты как группы автоморфизмов определенных комбинаторно - геометрических структур, таких как системы Штейнера, дистанционно-регулярные графы, пространства Фишера и другие. В своей эпохальной статье [Вие79] Ф. Бекенхаут, развивая ранние идеи Титса, заложил аксиоматические основы этих и связанных с ними структур под названием ’’диаграммные геометрии”. Билдинги конечных групп типа Ли входят в специальный класс диаграммных геометрий: геометрий Титса. Это дает основание надеяться, что диаграммные геометрии могут послужить основой для единообразного изучения всех конечных простых групп.
1.1. Основные определения
Эта секция представляет краткий и неформальный обзор геометрий классических групп, цель которого - мотивировать общее определение геометрий.
Пусть О - конечная классическая группа (предполагается проективная версия). Саму группу О и ее геометрию можно определить в терминах естественного модуля, который представляет собой некоторое п-мерное векторное про-
(IV) если и) € Д2(г>о), то 61 П 0(и>) действует транзитивно на множестве
Д(«о) П А(и>),
(у) если ъи £ Д*(г>о), то имеется единственная вершина V, смежная как с г>о,
так и с и> и [ш, Z] = Zv,
(у1) если гу € До) для а = 6,46 или 4с, то Zw < и Zw ф. (фх.
Доказательство. Утверждение (1) следует непосредственно из единственности инвариантной квадратичной формы на решетке Литча, взятой по модулю два и (2.1.3). Пусть 5 - орбита Р под действием <5 П Ох. Так как 02(612) = ((фу, П Сх)((фх П вщ), имеем |Е| = 26 , 27, 211 и 2й для а = 6, 46, 4с и 5, соответственно. Пусть {«,«1} = (-1 Т]~1(й). Утверждается, что (фп П (фх содержит элемент <7, переводящий и в их. В силу (2.1.3) и (2.1.9 (и)), элемент <7 из (З1 обладает этими свойствами, если ?/(<;) £ Л411 П ЛР). Поскольку все орбитали действия С01 на графе Литча самодвойственны, такой элемент <7 существует в том и только том случае, если АПА® ф 0 или, что эквивалентно, если в Л4 имеется вершина, смежная с Р в Г. Как легко видеть из диаграммы подорбит графа Г, приведенной в секции 4.7, такая вершина существует для каждого из рассматриваемых значений а. Следовательно, орбита Е вершины и под действием (фу! П 61 в два раза длиннее чем Е. Так как и смежна с 1>о, но не смежна с «2, для каждого элемента д из (фУ1 С (который переводит г0 в г) имеет место ЕПЕ5 = 0 и, следовательно, орбита и под действием (фу, в четыре раза длиннее, чем Е и поэтому справедливо (и). Теперь утверждения (Ш), (1у), (у) и (у1) следуют из утверждений (1), (11) и их доказательств. □
Для и £ А(г>о) П Д|(«1) положим
А — Л(иьи) = (Дц, | ш £ {г)ьы, Д(г>1) П Д(и)}).
Вершины А0 = г)<р{о) и Р := т]1р(и) определяют подграф Ф = Ф(А0,Р) в графе Литча индуцированный вершинами, фиксируемыми 02(Са,(8)) для некоторой центральной инволюции <5 в бх = Сох, а Ф порождает в А подпространство К = НДАо) размерности 8.