Правоупорядочиваемые группы

• Автор: Тарарин, Валерий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 87 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Упорядочиваемые представления групп
§1.1. Основные понятия и свойства правоупорядоченных
групп
§ 1.2. Локальные конусы упорядоченного представления
группы
§ 1.3. Условия упорядочиваемости представлений
Глава 2. Правоотносительно выпуклые подгруппы
§2.1. Свойства правоотносительно выпуклых подгрупп
§2.2. Правоотносительная выпуклость некоторых нормальных полных подгрупп
§ 2.3. Правоупорядочиваемые группы, допускающие конечное число правых порядков
Глава 3. Группы, допускающие конрадов правый порядок
§ 3.1. Радикальные правоупорядочиваемые группы
§3.2. Пример правоупорядочиваемой не локально индика-
бельной группы

§ 3.3. Группы, имеющие конечное число неэквивалентных транзитивных представлений порядковыми автоморфизмами линейно упорядоченных множеств
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Роль связей между алгебраическими операциями и отношением порядка трудно переоценить - частично упорядоченные алгебраические системы играют существенную роль в алгебраи-зации математики [1]-[4]. Одной из наиболее важных и разработанных частей теории частично упорядоченных алгебраических систем является теория упорядоченных групп [4]-[8]: реше-точно упорядоченных, линейно упорядоченных, правоупорядоченных групп, групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств и др., возникшая в начале века в связи с вопросами обоснования математики . Проблематика теории упорядоченных групп привлекла внимание большого числа математиков, в том числе Р.Дедекинда, О.Гёльдера, Д.Гильберта, Дж. Неймана, Г.Биркгофа, Ф.Холла. Значительный вклад в развитие теории упорядоченных групп внесла сибирская школа алгебры и логики: основатель этой школы А.И.Мальцев, а также М.И.Каргополов, А.И.Кокорин, Д.М.Смирнов, В.М.Копытов и др. Интерес к упорядоченным группам объясняется тем, что возможность введения порядка на группе обуславливает ее специфическое групповое строение и, в тоже время, многие объекты анализа, в частности, функциональные пространства, допускают естественный порядок.
В диссертации рассматриваются правоупорядочиваемые груп-

пы. Для некоторых классов представлений условия упорядочи-ваемости имееют более простой вид. Так, используя теорему Б.И.Плоткина [58], получаем : представление (G, 12), где G - локально нильпотентная группа без кручения, упорядочиваемо тогда и только тогда, когда для любого a G П стабилизатор Ga является изолированной подгруппой группы G.
Приведем условия упорядочиваемости 2-однородного представления группы. Представление (G, О) группы G подстановками множества 12 называется 2-однородным, если группа G транзитив-на на множестве 12(2) неупорядоченных пар различных элементов множества 12.
Предложение 1.3.3 2-однородное представление (G,fl) группы G упорядочиваемо тогда и только тогда, когда е ф Pa(g) для любого g £ GGa и a £ П.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия следует из теоремы 1.3.1.
Пусть выполняются условия предложения. Зафиксируем /3 € 12,/3 ф а, и положим S = {g £ Gag £ /3Ga}. Покажем, что S является a-замкнутой подполугруппой группы G.
Заметим, что если д £ G и д 0 Ga, то д2 Ga. Действительно, если д2 = h £ Ga, то е = g2h~x £ Ра{д), что противоречит предположению.
Сначала покажем, что ад2 £ (ag)Ga для любого элемента д £ G. Если д £ Ga, то утверждение очевидно. Пусть д 0 Ga. Предположим, что ад2 0 (скд). Так как а ад и, в силу замечания а ф ад2, то в силу 2-однородности группы G существует элемент р £ G, отображающий множество {а, ад} на множество {а, ад2}. Если ар — а и адр = ад2, то р £ Ga и