Приведение задачи Дирихле и ее обобщений для эллиптических уравнений к граничным задачам для голоморфных функций

• Автор: Казза Ахмад Мохаммад
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 79 с.

Содержание
Введение
§1. Основные результаты И.Н. Векуа по исследованию эллиптического
уравнения (0.1)
§2. Поверхность симметрии заданной алгебраической кривой
§3 Задача Дирихле в случае односвязной области
§4. задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в случае круга
§5.Одно уравнение частного вида
§6.0 нетривиальных решениях уравнения (5.1 )с нулевыми угловыми
граничными значениями на единичной окружности
§7. О достаточных условиях равносильности граничных задач А для
регулярных решений ДУ (0.1)0 и уравнении
Литература

Введение
Предлагаемая диссертация посвящена разработке конструктивных методов решения задачи Дирихле (задачи Д) и её обобщения с производными и интегралами в краевом условии (задачи А) для линейных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа с вещественно - аналитическими коэффициентами в случае плоских областей, ограниченных алгебраическими кривыми.
При аналитических коэффициентах (вещественных или комплексных) построение решений эллиптических уравнений и изучение их свойств проводится чаще всего методами комплексного анализа, опубликованных по этой теме работ очень много, подробный перечень их, до 1985 года включительно, имеется в монографиях [1] - [3]. Пополнять этот перечень работами последних лет нет надобности, так как среди них мы не обнаружили ни одной, связанной непосредственно с темой диссертации. Все известные результаты, послужившие основой для данной диссертации, имеются в монографии И.Н. Векуа [1] и отчасти С. Бергмана [2].
В каждой из монографий [1], [2]уравнение
Е(и) = Ли + а(х,у)~ + Ь(х, у)| + с(х, у)и = Г„ (х, у) (0.1)
дх ду
А = —+ Г (0-2)
д2 с?_
дх2 + ду2
с аналитическими по действительным переменным х, у коэффициентами а, Ь, с и свободным членом Б в некоторой области Т плоскости ХОУ, где они могут быть как вещественными, так и комплексными, исследуется методом продолжения на комплексные переменные х и у, что для уравнения (0.1) достигается переходом к новым комплексным переменным
г = х-му , = х-1у (0.3)

(С,-2 только при вещественных х, у). Вместо (0.1) получается комплексное в общем случае уравнение
Р(Л) + А(г>0~ + + С(2,0и(г,0 = ¥(2
дгдС, от оС,
с новой неизвестной функцией
'г + С г-С'
и(*.9=»1 2 , 2.
и новыми коэффициентами

(0.4)
(0.5)
С(г,
' г + С
{ 2 ’
'г + С, г-?
1 2 ’
х + С, г
1-нЬ Он
) 12 21 )
-Ъ
/ х 2 ’ 21 )
(0.6)

аналитическими в некоторой области (II х (1) пространства двух комплексных переменных 2, О
гт т д д
При этом в (0.4) под — и — надо понимать операторы комплексного
&2 дС,
д_=1 д2
(0.7)
дифференцирования
удх ду/дС, 2х 5уу Цель перехода к уравнению (0.4) в монографиях [1] и [2] была одинаковой - получение удобных интегральных представлений для некоторых классов решений уравнений (0.4) и (0.1). Но представления были получены разные.
В монографии И.Н. Векуа [1] изучались регуляторные области Т решения однородного уравнения (0.1)о, то есть решения и(х,у), имеющие в Т непрерывные частные производные первого и второго порядков. Для любого регулярного решения, как вещественного, так и комплексного, было
вой (2.1), то из уравнения (2.5) видно, что и Л№ связаны очевидным бирациональным преобразованием (г, у) (w,z).
Общего правила построения преобразований группы
нет. Но в некоторых случаях, когда левая часть уравнения (2.5) достаточно простая, некоторые подгруппы Г удается построить, учитывая, что все преобразования (2.17) не меняют форму левой части уравнения (2.5).
Так, для поверхности (2.13) очевидной является восьмичленная подгруппа
рода р = (п - 1)(п - 2)12 одну из подгрупп Г составляют преобразования
Много подобных примеров имеется в работах Л.И. Чибриковой [6], [12] - [15], Л.И. Чибриковой и Л.Г. Салехова [16], [17], Л.Г .Салехова [18], Е.П. Аксентьевой [19] -[21]. Л.И. Чибриковой и Э.А. Феттера [22], [23].
4°. В части перечисленных работ переход на риманову поверхность симметрии Л2 применялся при решении различных граничных задач для плоских областей, ограниченных алгебраическими кривыми и их осями симметрии - задачи Гильберта (линейной и нелинейной), задачи Марку-шевича, задач теории упругости ([6], [12], [21]). В другой части работ ([22] - [26]) построенные группы симметричных преобразований на римановой поверхности или на плоскости применялись при решении некоторых син-
Г : /к = г’(2,¥).¥к = гк (г, у),к = 0.1,
(2.17)
(±г,±у), (+у,±г).
Для поверхности
тггп + нп=1 , п>3,
(2.18)
(2.19)