Обобщенный метод разделения переменных в краевых задачах эллиптического типа

• Автор: Бадюков, Владимир Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1996
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 331 с. : ил.

Введение
0.1. Общая характеристика метода разделения переменных
0.2. Двумерные задачи рассеяния
0.3. Основные результаты диссертации
Глава 1. Постановка задачи и теоремы единственности
1.1. Двумерные уравнения с разделяющимися переменными
1.1.1. Периодическая задача
1.1.2. Случай конечной границы
1.2. Более общие задачи
1.2.1. Д-периодическая граница
1.2.2. Многомерная конечная граница
1.2.3. Уравнения с неразделяющимися переменными
1.3. Единственность решений двумерных периодических задач
1.4. Теоремы единственности для других краевых задач
1.4.1. Многомерные конечные границы
1.4.2. ГГ-периодические границы
1.4.3. Уравнения с неразделяющимися переменными
Глава 2. Метод построения фундаментальных решений
2.1. Квазипериодические задачи типа рассеяния
2.2. Квазипериодические задачи типа диффузии
2.3. Двумерные задачи с центральной симметрией
2.4. Многомерные периодические задачи
Глава 3. Исследование решений краевых задач
3.1. Теоремы существования
3.2. Свойства систем собственных функций
3.3. Методы решения
3.3.1. Интегральные уравнения
3.3.2. Краевые задачи
Глава 4. Асимптотические оценки коэффициентов Фурье
4.1. Аналитические свойства весовой функции О в интегральном представлении коэффициентов Фурье
4.1.1. Уравнение для функции
4.1.2. Аналитическое продолжение
4.2. Двусторонние оценки коэффициентов Фурье
4.2.1. Оценки сверху коэффициентов Фурье

4.2.2. Оценки снизу коэффициентов Фурье
4.3. Синусоидальная граница
4.3.1. Оценки сверху
4.3.2. Оценки снизу
4.4. Степенная граница
4.4.1. Оценки сверху
4.4.2. Оценки снизу
4.5. Логарифмическая граница
4.5.1. Оценки сверху
4.5.2. Оценки снизу
Заключение
Литература
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
0.1. Общая характеристика обобщенного метода разделения переменных.
Разделение переменных в задачах математической физики является одним из наиболее старых и плодотворных приемов. Представление решения рядами, к которым приводит этот метод, имеет много естественных преимуществ. Это, во-первых, достаточно простой способ получения решения в явной форме; во-вторых, возможность представить этими рядами чрезвычайно широкий класс-функций (например, удовлетворяющих внутри области одним условиям гладкости, а на границе - другим); в-третьих, возможность применить аппарат асимптотического анализа для получения оценок коэффициентов Фурье, что позволяет улучшить сходимость и выделить особенности ряда. Есть много и других преимуществ, специфических для каждой конкретной задачи. Например, яркий физический смысл коэффициентов Фурье в задачах рассеяния, унификация постановки задачи и т.д.
Однако, все эти чрезвычайно привлекательные достоинства компенсируются одним, но решающим недостатком. Число задач, к которым применим классический метод разделения переменных, конечно и не очень велико. Дело в том, что допускать разделение переменных должны не только уравнения, но и границы, а также краевые условия. Другими словами, если уравнение допускает разделение переменных, то для применения метода границы должны быть координатными'линиями в данной системе координат.
Одной из первых попыток перенесения метода на эллиптическую задачу с некоординатными границами можно считать классическую работу Рэлея [1] (см. также [2]). В ней содержалась простая идея представить решение рядом Фурье в части области, полностью содержащей координатные линии, вдоль которых проводилось разделение переменных. Затем в предположении, что построенный ряд сходится всюду в области вплоть до границы, с помощью заданного краевого условия вычислялись коэффициенты Фурье. Дальнейшие многочисленные исследования показали, что предположение о сходимости ряда всюду в области, сделанное в [1] (ги-
Глава І. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ.
При исследовании внешних краевых задай для выделения единственного решения необходимо задать некоторые дополнительные условия. В задачах теории дифракции получение этих условий, называемых условиями излучения, основано на выделении решения, соответствующего расходящейся (или сходящейся) волне. Аппаратом такого выделения служит один из универсальных принципов: предельного поглощения и предельной амплитуды. Оказывается, процедура такого выделения возможна напрямую с помощью соответствующего задания коэффициентов Фурье падающей волны. Как будет показано в данной главе, условия излучения, взятые в такой форме, гарантируют единственность решения не только в задачах рассеяния, но и в других задачах, единственность которых традиционно доказывалась иными способами, например, с помощью принципа максимума. Форма доказательств при этом остается почти без изменений для всех рассматриваемых задач, а сами условия излучения обобщают классические.
1.1. Постановка задачи в схеме двумерных уравнений, допускающих разделение пременных
Рассмотрим на плоскости области П±, ограниченные связной границей 5. Под 5 будем понимать конечную или Т - периодическую границу. Если 5 периодична и лежит в полосе ЬГ < .г < /А, то пусть 0+ содержит полуплоскость у > в декартовой прямоугольной системе координат (х,у), соответственно П“ = П2

Если 5 конечна и лежит в кольце 0 < г~ < г < г+, где (г, ф) -полярная система координат, то пусть Г2+ содержит область г > у+, соответственно. При этом, если начало координат лежит в 4“, то области П1*1 будем обозначать через противном случае
через
Пусть в области 0і за исключением, может быть, начала коордн-