Исследование бифуркационных задач со сложными вырождениями

• Автор: Матвеенко, Надежда Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Рыбинск
• Количество страниц: 108 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Асимптотические формулы в задаче о бифуркации Хопфа
§1 Задача о бифуркации Хопфа
§2 Необходимые и достаточные условия бифуркации Хопфа
§3 Асимптотика циклов
§4 Доказательства основных утверждений
Глава 2. Бифуркации в системах со сложными вырождениями
§5 Односторонняя бифуркация
§6 Устойчивость циклов в системах с кратным вырождением
§7 Дискретные и проекционные процедуры исследования
бифуркации
§8 Доказательства основных утверждений
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. В теории дифференциальных уравнений одним из основных является вопрос о зависимости решений уравнения от параметров. Этот вопрос исключительно важен как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений. Центральным при этом является вопрос о том, будут ли малым изменениям параметров соответствовать малые изменения свойств уравнения. Здесь возможны два принципиально различных случая.
Первым является случай так называемых “грубых” систем [2], когда небольшие изменения параметров дифференциального уравнения не влекут за собой кардинального изменения поведения его решений. В частности, для автономных систем свойство “грубости” означает, что малые изменения параметров не приводят к качественной перестройке фазового портрета системы.
Особый интерес вызывает другой случай, когда при малом изменении параметров поведение системы существенно меняется: возникают или исчезают особые точки, периодические или ограниченные решения, изменяется характер устойчивости решений и т. д. Математическое описание такого явления обычно называют бифуркацией, а значения параметров, при которых происходит качественная перестройка системы, — точками бифуркации.
Одним из первых термин “бифуркация” ввел К. Якоби в 1834г. Основы современной теории бифуркаций были заложены А. Пуанкаре [29] в конце XIX века. Существенный вклад в развитие этой теории внесли работы А.М. Ляпунова [23], A.A. Андронова [1], Е. Хопфа [46] и др.
Примерами задач, в которых наблюдается явление бифуркации, явля-

ются задача Эйлера [16] о потере устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн [8], задачи о рождении периодических и ограниченных решений [49], задачи о возникновении хаотических и стохастических аттракторов [7, 24]. Количество примеров легко может быть приумножено.
Одной из наиболее интересных бифуркационных задач является задача о бифуркации Хопфа, изучающая эффект возникновения ненулевых периодических решений из состояния равновесия автономной системы. Бифуркация Хопфа представляет огромный практический интерес. Это явление широко распространено: им объясняется появление автоколебаний во многих технических конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости, периодическое изменение численности популяции в биологических системах и др.
Теория бифуркации Хопфа имеет богатую историю. Еще в 1877 г. И. А. Вышнеградский [28] дал строгое математическое описание бифуркации такого типа — явления вибрации, возникающего при функционировании паровых машин с регулятором Уатта.
Основной интерес в теории бифуркации Хопфа вызывают следующие вопросы: условия, при которых происходит бифуркация, при каких именно значениях параметров возникают бифурцирующие решения (тип бифуркации), каков их период, амплитуда, устойчивы ли они.
Первые результаты теоретических исследований задачи о бифуркации рождения цикла восходят к классическим работам А.М.Ляпунова [23] и А.Пуанкаре [29]. Детальный анализ бифуркации рождения предельного цикла для двумерных динамических систем был проведен А.А.Андроновым [1]. Его теоремы были обобщены на многомерный случай Е.Хопфом [46]. Работы А.А.Андронова и Е.Хопфа послужили отправным пунктом для многочисленных исследований в различных направлениях.
С большой полнотой проведен анализ условий рождения предельного цикла для “классической” системы Хопфа. В зависимости от по-

по формуле (3.19) на А;-м шаге итерации изменяются лишь коэффициенты при q в степенях, больших, чем к. Этим обосновывается первая формула в (3.20). А отсутствие коэффициентов при первой степени q в двух последних равенствах из (3.20) обосновывается ниже при доказательстве теоремы 3.2.
Приведем формулы, определяющие функцию е(t) и числа Xi и Ах-Положим В0 = TqAq и В = В$ + 167Г2/, где I - единичная матрица. В силу предположения U1 матрицы Во и В обратимы.
Определим функции
ф) = То / a'[e(s); Ло][В0-Ч + B(f(s) + B0f(s))] ds, (3.21)

ф{£) = — (cisin27rf — sicos27rt). (3.22)

Здесь e(t) - функция (3.9); a'2(iг; Л) - якобиан вектор-функции аДж; Л); со - свободный коэффициент Фурье функции сДеД); Ао]; ci и si - отвечающие cos 27xt и sin27rt коэффициенты Фурье функции аз[е(<);Ло]; f(t) = a2[e(i); А0] - со.
Теорема 3.1 Пусть для системы (3.2) выполнены условия Ul - U3. Тогда для бифурцирующих решений, их периодов и соответствующих значений параметра имеют место представления (3.20), в которых

Ai = —а[ф) - ф)], (3.23)

П = -*<М + ~«{А'т ). (3.24)
е,(«) = 2)!-В0‘с0 + eBatB,1(4nS2 + В,;,:,) - Bp[f(t ) + ISofl'f)]}, (3.25)
где а(х) и /3(х) - функционалы из (3.10), 7 - число (2.3), а с2 и s2 - это отвечающие cos47rt и sin 47rt коэффициенты Фурье функции
Pf(t) = (f(t),h-)h + (f(t),g')g.
Доказательство теоремы 3.1 приводится в §4