Исследование предельных циклов двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Атаманов, Петр Степанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 143 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Глава первая. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ
§1.1 Замечания общего характера
§1.2. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые
второго порядка
§1.3. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые
третьего порядка
§ 1.4. Случай контактной кривой, ветвями которой являются кривые
четвертого порядка
Глава вторая. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ §2.1. Об одном свойстве интегрирующего множителя
дифференциального уравнения, имеющего предельный цикл
§ 2.2. Интегрирующие множители некоторых дифференциальных
уравнений, имеющих предельные циклы. Примеры
§ 2.3. О числе предельных циклов и их уравнениях
§ 2.4. Дифференциальное уравнение в криволинейных координатах и
его интегрирующий множитель
§2.5. О дифференциальных уравнениях без предельных циклов
§ 2.6. Об одном способе конструирования систем дифференциальных
уравнений с предельными циклами
Глава третья. О ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С КРАТНЫМИ РЕГУЛЯРНЫМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ
§3.1. Некоторые общие сведения о кратных предельных циклах
§ 3.2. Об одном способе вычисления производных функции Г (я, п)
§ 3.3. О производных любого порядка функции приращения

§3.4. Дифференцирование одного дифференциального уравнения в силу другого. О необходимых и достаточных условиях кратности
регулярного предельного цикла
§3.5. Связь между условиями кратности регулярного предельного
цикла
§3.6. Другой способ вывода формул связи между условиями кратности
регулярного предельного цикла
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Поставленная еще Пуанкаре (Poincare H) [70J и Гильбертом (Hilbert D) [69] проблема предельных циклов является одной из труднейших в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости. В общем виде она не решена до сегодняшнего дня, несмотря на огромное количество посвященных ей работ.
Одна из принципиальных трудностей решения упомянутой проблемы, по-видимому, заключена в глобальном характере самой задачи.
Важность предельных циклов в связи с возможными их применениями в естествознании для адекватного описания автоколебаний с одной степенью свободы впервые была открыта A.A. Андроновым. Следует особо отметить в этом же плане работу A.A. Андронова и J1.C. Понтрягина [8, с. 183-187], в которой заложены основы теории грубых систем (систем с устойчивой структурой).
Предельные циклы нашли широкое применение во многих областях естествознания: радиофизике, теории колебаний, математической биологии (фотосинтез, гликолиз), химии (периодические процессы в реакциях), авиации (мертвая петля самолета, волнообразный полет самолета), автоматическом регулировании, математической экономике, астрономии (цефеиды), теории конструирования точных приборов, медицине (психические заболевания) [5], [9], [66] и др.

Все условия теоремы выполнены, система (1.2.34) имеет по крайней мере п предельных циклов, окружающих начало координат.
ПримерЗ. Покажем, что система
йх ей
— = -х + у
"Т“ = У + ХП (х2 + 2У2 - 2х - 2г‘ • I2), 01 ]=
п(х2 +2у2 -2х-2г'-1г
(1.2.35)
имеет по крайней мере п предельных циклов, окружающих начало координат.
В самом деле, для нее выполнены условия (1.2.19) - (1.2.21) теоремы, поскольку а = р = 1, = 1, й,=2, Ь, = — 1, С;=-22'42, 1 = 1,п.. Покажем
выполнение условия(1.2. 22).
с_2Ч и -Ь8±Уь?-а4с8 =1±л/Г Т V2 а,
■ 22' 2.
Тогда

= 2'+1(‘+1) ^1+1 ~л/Ь|Ч1 а1+)Сж = 1 ± /1+гу2(М)({+1
V <*м Я ' а!+1 V V ;
Тогда

£■±1. <4; ., ’
-ъм±^ь
1+1 а1+1с1+
2‘+|(1 + 1) л/
Условие (1.2.22) в этом примере имеет вид:
- л/Г
+ 22' Т2 <
21+10 + 1) л/
Докажем это соотношение, записывая его в виде
л[2-у1 + 2ь -2 <21+1(1 + 1)-х/2, 1 = 1,п — 1.
После возведения в квадрат обеих частей получим
22,+! . 12 < 22(,+1) . + ^2 _ ^ 21+2 £ + ^
Последнее неравенство выполняется подавно, если справедливо соотношение