Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границ

• Автор: Нгуен Жа Бао
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. СВОЙСТВА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Начально-краевая задача со свободной границей. Свойства
решения при немонотонной функции состояния
§2. Стационарная задача
§3. Стабилизация решения при убывающей функции состояния
§4. Свойства решения задачи с двумя свободными границами
§5. Стабилизация решения при убывающей функции состояния в задаче с двумя свободными границами
Глава 2. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Начально-краевая задача. Вспомогательные утверждения
§2. Свойства решения при немонотонной функции состояния
§3. Стационарная задача
§4. Свойства решения при убывающей функции состояния
§5. Свойства производной решения при убывающей функции состояния

Глава 3. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§ 1. Обозначения и вспомогательные сведения
§2. Специальная разностная схема. Свойства при немонотонной
функции состояния
§3.Стационарная разностная задача
§4.Свойства решений разностной схемы при убывающей функции состояния
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный и интересный объект современной теории дифференциальных уравнений. Это обусловлено их широким применением в физике, механике и технике. В число таких уравнений входят различные системы уравнений движения вязкого газа (иначе говоря, сжимаемой жидкости) [7]. Разнообразные вопросы теории этих систем активно изучаются в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии, Китае и других странах. Это вопросы существования, единственности, регулярности решений, а также вопросы об оценках решений и их асимптотическом поведении, в частности, при неограниченном возрастании времени (т.е. при t —> +00). Соответствующие результаты представляет наибольший интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.
К настоящему времени такие результаты «в большом» доказаны в основном для случая уравнений с одной пространственной переменной (т.е. уравнений одномерного движения). Первые результаты о равномерных по t оценках решений и их глобальной стабилизации при t -» +00 установили для модели баротропного газа Я.И.Канель [24] (задача Коши), A.B. Кажихов [23], В.В.Шелухин [28,29] (начально-краевые задачи). В дальнейшем для моделей баротропного и теплопроводного газа подобные вопросы изучали A.B. Кажихов [7], P.Secchi и A.Valli [42], A.Valli [45,46], T.Nishida [40], T.Nagasawa [38,39], I.Straskraba и A.Valli [44],
H.Beiräo da Veiga [31,32], В.А.Вайгант [9,10], А.А.Злотник [12—16],
числовое неравенство Коши с е и произвольность в выборе î> О, устанавливаем оценку (1.31).
Выведем теперь от противного свойство (1.29). Пусть верна оценка (1.30). Обратимся к уравнению (1.14). В силу условий (1.28) (пусть для удобства там Mgs> prs+ N'1) имеем -d(x,t) > N~l-xgs С учетом оценки ua> х0 = min{(4iVgi)'1 ,М) при gs > 0 либо х0-М при g < 0. Тогда, учитывая неотрицательность р, из (1.14) имеем при 0 < х < х0 и / >
In ф, t) > In TJ° (х) + v'1 (4N)~l t-v~x(2N)~xKX v.
Как следствие, V(t)> (£î]0dx)K;l exp{(4Wv)~V } при t > 0. Полученная
оценка противоречит (1.30), что и доказывает предложение.
Рассмотрим еще следующий случай предельного равновесия (ср. с (1.6) и (1.28))
gs (Z) = const на R+ ; 0 < Mgs = pr s < N. (1.32)
Теорема 1.2. Пусть p(Ç)> 0 на R+ и Ср = J*” p(Ç)d.Ç < +сс (вместо (1.4)). Пусть выполнены условия
И. +М, + II"1 + INL +1!4Рг|я. SJV. (1-33)
DlPr eZ,(0,Т) /Т> 0, D,pr(t)< 0 на R+ (1.34)
и условия (1.32). Тогда:
1)'верна оценка
+Н2>оо + \pmDu\Q 2) сохраняет силу теорема 1.1, п. 1;