Изучение иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей

• Автор: Емелин, Александр Викторович
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Арзамас
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Теоретические основы изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
§1.1. Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников
§1.2. Обоснование целесообразности изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
§1.3. Методическая модель визуализации иррациональных чисел в курсе
алгебры средней школы с использованием самоподобия
Выводы по главе I
Глава II. Методические аспекты изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
§2.1. Методические особенности введения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
§2.2. Специфика обучения учащихся действиям с иррациональными числами в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
§2.3. Изучение иррациональных чисел на факультативных занятиях по алгебре с использованием самоподобных визуальных моделей
§2.4. Постановка и результаты педагогического эксперимента
Выводы по главе II
Заключение
Список литературы
Приложения

Введение
Актуальность исследования. С переходом на новую образовательную парадигму возникает необходимость использования новых средств обучения, обеспечивающих более интенсивное интеллектуальное развитие школьников. Одним из таких средств в обучении математике выступают визуальные модели, позволяющие представлять объект изучения в наглядной форме. Понятие визуализации появилось в методике обучения математике сравнительно недавно, однако, вопросы, связанные с повышением наглядности процесса обучения математике в школе и развитием образного мышления учащихся, интересуют исследователей на протяжении довольно длительного времени. К работам, имеющим особо важное значение в исследовании наглядности процесса обучения школьников математике, следует отнести, прежде всего, труды П.А. Карасева [74], И.Ф. Шарыгина [143], В.А. Крутецкого [83], И.С. Якиманской [154; 155; 156; 157], В.Г. Болтянского [27], А.Г. Гайштута [39], Э.Ю. Красса [107], П.Я. Дорфа [54], А.Я. Цукаря [136; 137; 138], Л.М. Фридмана [131; 132] и др.
Визуализация при обучении математике необходима, в первую очередь, там, где познавательная деятельность школьника предполагает работу с материалом, предметная (а, значит, и визуальная) основа которого является трудной для восприятия, а само знание - весьма абстрактным. Исследованием визуализации математических знаний занимались такие ученые, как В.А. Далингер [48], М.И. Башмаков, H.A. Резник [20], A.B. Пче-лин [113], Е.В. Никольский [104] и др.
Особую методическую ценность визуализация имеет при изучении иррациональных чисел в школьном курсе алгебры. Это объясняется тем, что их полноценное усвоение предполагает преодоление учащимися высокого уровня абстрактности и объективной сложности содержания учебного материала, требует наличия знаний, скрытых от непосредственного восприятия, оперирования понятиями, не имеющими не только наглядных ин-

терпретаций в учебно-методической литературе по математике, но и аналогов в опыте человека.
Значительный вклад в развитие учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры был сделан такими известными учеными, как И.К. Андронов [11], В.М. Брадис [30], К.С. Барыбин [17], Ю.М. Колягин [94], Ю.Н. Макарычев [1], A.A. Столяр [125], Н.Я. Виленкин [35], А.Г. Мордкович [96; 102], В.В. Репьев [115], С.Е. Ляпин [93], В. Серпинский [121] и др.
Работы этих и других авторов, касающиеся учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры, посвящены преимущественно вопросам совершенствования методов приближенного вычисление корней и преобразования выражений, состоящих из них, и направлены на раскрытие способов упрощения иррациональных выражений путем использования формул сокращенного умножения и некоторых других приёмов. При этом почти не затрагивается образная составляющая преобразований иррациональных выражений и, прежде всего, самих иррациональных чисел, а также визуальная основа арифметических действий с ними, в результате чего знания, которые получают школьники, нередко являются формальными.
В методической литературе по математике, несмотря на наличие научных работ и рекомендаций по изучению иррациональных чисел, проблема эффективных визуальных средств обучения, которые способствовали бы формированию правильных представлений школьников об иррациональных числах, не нашла достаточно полного решения, что, по-видимому, и является причиной недостаточности образной составляющей учебного материала школьных учебников.
Как следствие из данного обстоятельства, вопрос об исследовании методов и механизмов визуализации иррациональных чисел, которые позволили бы наглядно интерпретировать понятия, определяющие во взаимосвязи их природу, также является открытым.
Отдельные вопросы визуализации иррациональных чисел отражены

Решение. Идея решения этой задачи заключается в применении формулы разности квадратов (а - Ь)(а + Ь) = а2 -Ь2, целесообразность использования которой можно увидеть, если рассматривать множители данного произведения парами: (л/2-1)(л/2 + 1) = 1, (л/3-л/2)(л/з+л/2) = 1,
Тогда исходное выражение можно будет записать в следующем виде:
(л/2 - 1)(л/2 + 1)(7з - л/2)(л/3 + л/2) ... (л/99 + 798) = (2 -1)(3 - 2) х
х (99 - 98) = 1-1
В этом примере самоподобие, как видим, проявляется в том, что произведение состоит из множителей вида (7н +1 - 4п){7и +1 + л/7), которые расположены в порядке следования натуральных чисел. При решении данной задачи важно увидеть, что (л/и + 1 -77)(7н+Т + 7н) = 1 тогда она становится практически устной, а решение, которое определяет такую простоту, - полностью визуальным.
Из анализа и преобразований визуальной модели, находящейся в условии задачи, несмотря на невысокий уровень ее сложности, школьники могут сделать важные выводы, - в частности, о том, что произведение иррациональных чисел может быть как иррациональным, так и рациональным числом на основании изучения только лишь 5 множителей из 98.
Пример 3. Найти значение суммы
1 . + 1 +... +
1+72 72 + 7з 72о!о+7МТ
Решение. Способ решения задачи заключается в том, что нужно умножить числитель и знаменатель каждого слагаемого данной суммы на множитель, сопряженный со знаменателем, освобождаясь в нем от иррациональности. Иначе сложить входящие в сумму дроби нельзя. Тогда получим, что

+-7= 7=+... +
1 +72 72+7з 72010 + 72011
72-1 7з-72 720п-72оТо
Н г= 7= г= 7=~ +... +
'(72+1X72-1) (7з+72)(73-72) *" (72Ш + 72010)(720П-72010) :(72-1)+(7з-72)+...+(7М1-72о1о)=72оП-1.