Устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии при численном моделировании фильтрации сжимаемой жидкости

• Автор: Афанасьева, Надежда Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии
1.1 Введение
1.2 Задачи конвекции-диффузии
1.3 Дифференциально-разностная задача
1.4 Схемы с весами для задач конвекции-диффузии
1.5 Безусловно устойчивая схема
1.6 Другие задачи
1.7 Тестовая задача
2 Безусловно монотонные схемы
2.1 Введение
2.2 Уравнения конвекции-диффузии
2.3 Устойчивость двухслойных схем
2.4 Разностные схемы для уравнений конвекции-диффузии
2.5 Экспоненциальные схемы
2.6 Многомерные задачи
2.7 Локально-одномерные схемы
2.8 Задачи конвекции-диффузии-реакции
2.9 Тестовая задача
3 Схемы расщепления для некоторых параболических уравнений
3.1 Введение

3.2 Постановка задачи
3.3 Дифференциально-разностная задача
3.4 Двухслойные схемы
3.5 Схемы расщепления
4 Численное моделирование задачи двухфазной фильтрации
4.1 Введение
4.2 Основные уравнения фильтрации
4.3 Фильтрация сжимаемой жидкости
4.4 Вычислительные алгоритмы
4.5 Результаты экспериментов
Заключение
Литература

Введение
Современные теоретические исследования прикладных проблем базируются на широком использовании вычислительных средств (компьютеров и численных методов) [5,9,34,53,57,58,68,93]. Традиционные аналитические средства прикладной математики используются для предварительного качественного исследования математических моделей, тестирования вычислительных алгоритмов.
Прикладные математические модели механики сплошной среды включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными уравнениями, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. При численном решении краевых задач для систем нестационарных уравнений в частных производных аппроксимация по пространству проводится на основе разностных методов, метода конечных элементов, метода конечных объемов [24,59,65,81].
Проблемы численного моделирования проблем гидро- и газодинамики отражены во многих работах, среди которых мы отметим [4,35,54,55,75,77,91,94]. Основная литература по вычислительной гидро- и газодинамике, тепломассопе-реносу ориентирована на лиц с инженерной подготовкой, когда материал излагается с привлечением лишь элементарных понятий теории вычислительных методов математической физики. Упор делается, в основном, на алгоритмическую сторону проблемы, на экспериментальное тестирование численных алгоритмов. В ряде книг (прежде всего в [14,95]) проводится строгое математическое исследование вопросов разрешимости непрерывных задач и их определенного класса дискретных аналогов.
Основные особенности проблем механики сплошной среды связаны с учетом

пользуются в вычислительной практике.
Устойчивость разностных схем для нестационарных задач в гильбертовых пространствах сеточных функций исследуется на основе общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем A.A. Самарского [24,33]. Основные результаты по исследованию устойчивости схем для задач конвекции-диффузии можно найти в [30,82]. Различные классы безусловно устойчивых схем первого и второго порядка аппроксимации по времени наиболее просто строятся для задач, в которых конвективные слагаемые берутся в симметричной форме (полусумма недивергентной и дивергентной форм).
Для задач конвекции-диффузии с конвективными слагаемыми в недивергентной и дивергентной формах естественно ориентироваться на использование банаховых пространств Loo(fi) и Li(f2) соответственно. Исследование устойчивости в банаховых пространствах Ь^ш) и L{oj) (сеточных аналогах LCC(H) и Li(Q)) обычно проводится на основе принципа максимума. В своей работе (см. [41]) мы используем понятие логарифмической нормы. С использованием этого математического аппарата устанавливаются свойства устойчивости разностных схем для одномерных задач конвекции-диффузии при применении центрально-разностных аппроксимаций и аппроксимаций направленными разностями. Рассмотрены свойства монотонности этих схем, экспоненциальных схем для задач конвекции-диффузии с конвективными слагаемыми в недивергентной и дивергентной формах.
На основе преобразований по отдельным координатам строятся устойчивые и монотонные схемы для многомерных задач. Отдельно рассмотрены проблемы построения схем расщепления [18,29] по направлениям. Получены условия устойчивости монотонных схем в -Loo(w) и L(üj). Для более общих задач конвекции-диффузии-реакции норма решения может расти экспоненциально со временем. Отмечены возможности построения специальных безусловно устойчивых схем, которые учитывают эти особенности.