Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

• Автор: Какушкин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов
1.1 Основные понятия
1.2 Дискретные операторы
1.3 Свойства дискретных операторов
1.4 Метод регуляризованных следов вычисления собственных чисел возмущенной спектральной задачи
2 Метод нахождения значений первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов
2.1 Функциональные ряды „взвешенных“ поправок теории возмущений
2.2 Нахождение „взвешенных“ поправок теории возмущений
2.3 Вычисление значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов
2.4 Алгоритм нахождения значений собственных функ-
ций возмущенных операторов методом регуляризованных следов
2.5 Описание пакета программ „Нахождение значений соб-
ственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов“
3 Математические модели задач нахождения значений
собственных функций

3.1 Спектральная задача для возмущенного оператора Лапласа
3.2 Математическая модель плоскопараллельного течении вязкой несжимаемой жидкости
3.3 Алгоритм нахождения значений собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда
3.4 Математическая модель электрических колебаний в протяженной линии
3.5 Алгоритм вычисления значений собственных функций задачи Штурма-Лиувилля
Заключение
Список литературы
Приложение 1. Результаты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа
Приложение 2. Свидетельство о регистрации пакета программ „Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов“

Введение
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о нахождении собственных функций оператора Т + Р:
(т + Р^и = ри,
где Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения в П. Предположим, что известны собственные числа {Лп}^=1 оператора Т, занумерованные в порядке неубывания их действительных величин, и ортонорми-рованные собственные функции (гЦх)}^, отвечающие этим собственным числам. Пусть собственные функции образу-
ют базис в Н. Обозначим через ип кратность собственного числа
А„, а количество всех неравных друг другу Ап, лежащих внутри
т “I- АПо[
окружности 1По радиуса рПо = -------------- — с центром в начале координат комплексной ПЛОСКОСТИ, через Щ. Пусть - собствен-
ные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке неубывания их действительных частей, а {ип(х)}= 1 - соответствующие им собственные функции. Если для всех п > по, выполняются неравенства 2\р |
= — — < 1, тогда линейный оператор Т+Р является дне-
| лп+1гп Луг!
кретным и внутри окружности ТПо находится одинаковое количество собственных значений операторов Т и Т + Р (см., напр. [92], гл. 5,

§ 4, лемма 3). При этом то = ^2 ип собственных функций оператора

Т + Р являются решениями системы нелинейных уравнений [85]:
то то £
^2 И?щ(х)щ(у) = ^А^(х)^(т/) + ^4г,)(т0,2:,2/)+е?)(тоо,а:,2/)-
3=1 3=1 к=
(0.1)

Замечание 1.3.2 Если индекс дефекта оператора Lq есть (2п, 2п), то резольвента всякого его самосопряженного расширения есть вполне непрерывный оператор, следовательно, спектр всякого са-мосопряженного расширения оператора Lq чисто дискретен, т. е. состоит из счетного множества собственных значений, конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности.
Следующая теорема позволяет оценить норму резольвенты линейного оператора.
Теорема 1.3.3 Если А - линейный ограниченный оператор, то имеет мест,о оценка
г(А) < ||Л||,
где r(A) = lim ||Лп||1//га - спектральный радиус.
Т1-+0О
Если |А| > г(А), то резольвента R существует и может быть представлена сходящимся по норме рядом:

Rx = -^2 А-п'1Ап.

Доказательство. Пусть r0 = inf ||Лп||1/,п. Для каждого є > О

выберем к так, что \Ак\1'к < го + є. Для целого п определим q из условия п = рк + q, 0 < q < к — 1 (р - целое). Поскольку ||Л0|| < Н4І-НДЦ, то
\Ап\1/п < \Ак\р'п ■ ||Л|4П < (rQ + E)kpln\A\qln.
Поскольку рк/п —> 1, q/n —¥ 0 при п —» оо, то
< ro + є.