Регуляризация задач определения источников колебаний

• Автор: Криворотько, Ольга Игоревна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 199 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Сингулярное разложение в некорректных задачах
1.1 Понятие г-решения для систем линейных алгебраических уравнений
1.1.1 Регуляризация
1.2 Понятие 6-чисел вполне непрерывного и ограниченного операторов
1.2.1 Понятие в-чисел вполне непрерывного оператора
1.2.2 Понятие 6-чисел ограниченного оператора
1.3 Примеры некорректных задач и построение сингулярных чисел
2 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях на части границы области
2.1 Физическая и математическая модели
2.1.1 Физическая постановка
2.1.2 Математическая постановка прямой и обратных задач
2.1.3 Единственность решения обратной задачи
2.2 Численные алгоритмы решения прямой задачи
2.2.1 Численное интегрирование
2.2.2 Метод Фурье
2.2.3 Конечно-разностные схемы
2.3 Анализ некорректности обратной задачи термоакустики
2.3.1 Представление обратных задач в матричном виде
2.3.2 Анализ сингулярных чисел дискретных операторов обратных задач
2.3.3 Условная устойчивость обратной задачи
2.4 Оптимизационные методы численного решения обратных задач термоакустики
2.4.1 Выражения для градиентов функционалов, используемых в численных
расчетах
2.4.2 Численные эксперименты решения обратных задач термоакустики градиентными методами
2.5 Сингулярное разложение и прием С.К. Годунова
2.5.1 Метод усеченного сингулярного разложения. Анализ численных расчетов
2.5.2 Прием С.К. Годунова. Анализ численных расчетов
3 Определение источника колебаний в волновом уравнении но данным о колебаниях в фиксированный момент времени
3.1 Постановка задачи
3.2 Неустойчивость и неединственность задачи Дирихле
3.3 Исследование обратной задачи в случае постоянных коэффициентов
3.3.1 Теорема единственности
3.3.2 Неустойчивость обратной задачи
3.4 Сингулярный анализ обратной задачи

3.4.1 Сингулярное разложение оператора обратной задачи
3.4.2 Сингулярный анализ дискретного аналога оператора обратной задачи .
3.5 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала .
3.5.1 Формула градиента целевого функционала, используемая в численных расчетах
3.6 Численные эксперименты
3.6.1 Метод сингулярного разложения
3.6.2 Метод простой итерации
3.6.3 Использование г-решения в качестве начального приближения для метода простой итерации
4 Определение источника колебаний в волновом уравнении но данным о колебаниях в конечном числе точек
4.1 Краткая история изучения задачи определения начального возмущения для линейных уравнений мелкой воды
4.2 Постановка задачи и ее разрешимость
4.3 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала .
4.4 Численное решение прямой и сопряженной задач: уровень вычислительной ошибки
4.5 Степень некорректности обратной задачи
4.6 Метод сопряженных градиентов: численные расчеты
4.7 Совмещенная постановка обратной задачи для уравнений мелкой воды в линейном приближении
4.7.1 Вариационная постановка совмещенной обратной задачи
4.7.2 Результаты численных расчетов
4.7.3 Преимущество совмещенных данных
5 Численный алгоритм определения амплитуды переднего фронта волны
5.1 Уравнение эйконала
5.1.1 Уравнение эйконала в геометрической оптике. Принцип Ферма
5.1.2 Схема С.К. Годунова
5.1.3 Метод бихарактеристик
5.1.4 Метод Рунгс-Кутты решения уравнений Эйлера
5.1.5 Сравнение метода Годунова и метода бихарактеристик
5.2 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае линейного источника
5.2.1 О существовании и единственности решения задачи определения амплитуды переднего фронта волны
5.2.2 Сравнение с акустическим фронтом в одномерном случае
5.3 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае точечного источника
5.4 Численные эксперименты. Амплитуда переднего фронта волны
Заключение
Список рисунков
Список таблиц
Список работ, опубликованных но теме диссертации
Монографии
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК
Публикации в нерецензируемых изданиях

Труды и тезисы конференций
Литература
А Вывод и основные свойства уравнений мелкой воды
А.1 Свойства уравнений мелкой воды в одномерном случае
A.2 Варианты граничных условий для системы уравнений мелкой воды
В Градиентные методы
B.1 Метод простой итерации
В.2 Метод сопряженных градиентов
С Формула Эри-Грииа (Airy-Green)
D Сингулярное разложение матриц, интегральных и компактных операторов
D.1 Сингулярное разложение матриц
D.1.1 Обзор предшествующих результатов
D.I.2 Применение сингулярного разложения к решению обратных задач
D.1.3 Прием С.К. Годунова решения некорректных задач
D.2 Сингулярное разложение интегральных операторов
D.2.1 Теоремы Фредгольма
D.2.2 Теорема Гильберта-Шмидта для интегрального оператора
D.2.3 Теорема Гильберта-Шмидта для компактного эрмитового оператора . .
D.3 Сингулярное разложение компактных операторов
Е Свидетельство о регистрации программы в Фонде алгоритмов и программ СО

2.2.1 Численное интегрирование
В одномерном случае уравнение в задаче (2.7) - уравнение колебаний струны. Решение задачи (2.7) представляется формулой Даламбера [97,99,100]:
С £-~1 — Т
< д(х +1) + д(х — *) 1 /* /' 11г , ,г,
«(*.*) = - + 2 У У /(С.г) О г—<+т
где /(а;, 4) - правая часть в уравнении (2.7).
Для случая у — у имеет место формула Пуассона представления решения задачи (2.7):
1 Г [ /(£, ?7Д) с(£ сМт д 1 ГГ «(€• *7)
2*1,1 у/е-К-*>*-ы-ш?
Уравнение (2.7) называется уравнением малых поперечных колебаний мембраны с начальными данными (функция /(х, г/ь 4) соответствует вынуждающей внешней силе).
В случае г/ = (т/ьг/з) решение задачи (2.7) представляется формулой Кирхгофа:
и{х,у,Г)

4Ц (1(а-Р-'У)ааЛРй
1Х-С1=( )
(2.14)
где х = (х, т/1, у2), С = (а,/3,7). Формула Кирхгофа (2.7) показывает, что решение прямой задачи в точке (х, 2/1,г/2,£) зависит от значений функции д(а,/3,7) на сфере |х — £| = 7. Если теперь положить в (2.14) х = 0, то получим интегральное уравнение первого рода относительно функции д(х. т/2):
/1(2/1,2/2,*) = ^

JJ д(а, /3,-у) йас1/
(2.15)
А2+('л-/3)2+(у.!-'»)2=г /
Однако, численная реализация метода нахождения д(х, г/1,2/2) из уравнения (2.15) является сложной задачей. Интегрируя уравнение (2.15) по 2 и умножая его на 4тП, получим задачу восстановления функции д(х, у, г/Д по ее сферическим средним (см. Раздел 2.1.3).
2.2.2 Метод Фурье
В силу естественных рассуждений всюду далее будем рассматривать трехмерную область
П = {(х, уи г/2)| х 6 (0, Ь), 2/1 € {-Ь, I), г/2 6 (-£. £)}•
На примере функции д{х.уЛ) покажем, что в рассматриваемой физической постановке задачи термоакустики справедливо рассмотрение конечных рядов Фурье. Разделим ряд Фурье функции д(х. у. 2) на две части:
д{х.уЛ) = 22 9(к){хЛ)егку + 22 9(к)(хЛ)е,ку.
|А-|<Н |А-|>И
Если предположить, что д £ С1, то остаток ряда Фурье (второе слагаемое в правой части) можно оценить [101]:
22 Ы)(хл) <
|А-|>Н