Метод ι1-аппроксимации в навигационных задачах оценивания

• Автор: Акимов, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Уровни неоптимальности для итерационных алгоритмов
в методе наименьших модулей
1.1 Введение к первой главе
1.2 Метод наименьших модулей
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Метод Вейсфельда
1.3 Анализ вариационных задач
1.3.1 Формулировки основных экстремальных задач
1.3.2 Двойственные задачи
1.3.3 Решение задач гладкой оптимизации
1.4 Оценки сверху для уровня неоптимальности
1.4.1 Подход, основанный на задаче
взвешенного метода наименьших квадратов
1.4.2 Подход, основанный на свойствах задачи
метода наименьших модулей
1.5 Метод наименьших модулей в спутниковой навигации
1.5.1 Доплеровские измерения спутниковой навигационной системы
1.5.2 Численное решение задачи метода наименьших модулей
1.6 Заключение к первой главе
2 Задача оценивания смещений в погрешностях БИНС
2.1 Введение ко второй главе
2.2 Математическая модель БИНС
2.2.1 Уравнения ошибок БИНС
2.2.2 Особенности уравнений ошибок при стендовых испытаниях
2.2.3 Модели погрешностей чувствительных элементов
2.2.4 Особенности начальной выставки
2.2.5 Уравнения формирующего фильтра
2.2.6 Динамическая система в непрерывном времени
2.3 Структура задачи оценивания
2.3.1 Дискретизация динамической системы

2.3.2 Структура измерений в задаче оценивания
2.3.3 Эксперимент с угловой и азимутальной информацией.
Декомпозиция динамической системы
2.3.4 Моделирование массива измерений
2.3.5 Анализ точности приближенных моделей
2.3.6 Эксперимент с полной угловой информацией.
Второй вариант декомпозиции системы
2.3.7 Масштабирование и переход к безразмерным переменным
2.4 Вариационные проблемы
2.4.1 Оценивание состояний динамической системы
2.4.2 Сведение к проблеме линейного программирования
2.4.3 Переход к проблеме безусловной минимизации
2.5 Заключение ко второй главе
3 Решение и численный анализ задач оценивания
3.1 Введение к третьей главе
3.2 Структурные элементы программной реализации
3.3 Оценивание скачков в инерциальных датчиках
при наличии скоростной и азимутальной информации
3.3.1 Входные параметры вычислительной процедуры
3.3.2 Оценивание скачков в показаниях акселерометров
3.3.3 Варьирование весовых коэффициентов
3.3.4 Сравнение с методом наименьших квадратов
3.3.5 Оценивание скачков в показаниях гироскопов
3.4 Оценивание скачков в инерциальных датчиках
при наличии полной угловой информации
3.4.1 Особенности вариационных проблем и их решений
3.4.2 Границы применимости метода ^-аппроксимации
3.5 Алгоритмические особенности ^-аппроксимации
3.5.1 Методы, основанные на линейном программировании
3.5.2 Уровни неоптимальности в проблемах /1-аппроксимации
для динамических систем
3.5.3 Оконное /[-сглаживание для больших массивов измерений
3.6 Заключение к третьей главе
Основные результаты диссертации
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В задачах прикладной математики и механики часто появляется необходимость оценить значения некоторых неизвестных параметров по произведенным измерениям. Так возникают проблемы оценивания. Среди методов их решения помимо статистических и частотных подходов можно выделить методы, в которых оценки неизвестных параметров ищутся как решения вариационных проблем; таков, например, широко известный метод наименьших квадратов. В данной работе речь пойдет о .методе /[-аппроксимации, также называемом методом наименьших модулей (МНМ). В качестве его приложений будут рассматриваться задачи обработки навигационной информации, в частности, задача выявления сбоев в показаниях инерциальных датчиков [14].
Известно [13, 31, 46, 47, 50], что по сравнению со многими другими методами оценивания /[-аппроксимация обладает большей устойчивостью по отношению к аномально большим ошибкам в измерениях. Поэтому метод наименьших модулей оказывается полезным при обработке реальных данных, которые, как показывает практика, могут содержать погрешности, существенно превосходящие средний уровень шумов.
Идея использования метода наименьших модулей в прикладных задачах не нова. У истоков данного направления стояли П.С. Лаплас [53] и Р. Боскович [49]. Среди современных исследований в этой области необходимо упомянуть работы И.Б. Челпанова [13], В.И. Мудрова и В.Л. Кушко [31], П. Блумфилда [46]. Важное место /[-аппроксимация занимает и в работах С. Бойда [47, 52] и Б.Т. Поляка [35], посвященных теории оптимизационных задач. Однако этот метод непрост с вычислительной точки зрения, что затрудняет его использование в случае большого количества измерений и неизвестных параметров. Поэтому, как правило, он находил свое применение в статических задачах оценивания, где необходимые объемы вычислений были сравнительно невелики. В данной работе представлен новый взгляд на использование /[-аппроксимации: ее предлагается применить в том числе и в динамических задачах оценивания, возникающих в навигации. Это влечет за собой необходимость обработки больших массивов данных, поэтому значительный интерес вызывают алгоритмы численного решения, позволяющие выполнять такую обработку за ограниченное время и с приемлемой точностью. Примером такого алгоритма может служить метод вариационно-взвешенных квадратических приближений (алгоритм Вейсфельда) [55, 56, 31], дающий возможность найти приближенное решение задачи МНМ. В первой главе данной работы предлагается усовершенствование этого алгоритма: на основе теории двойственности выпуклых вариационных задач [7] получены оценки уровней неоптимальности, позволяющие контролировать качество приближенных решений указанной оптимизационной проблемы. Ранее оценки уровней неоптимальности строились для приближенных решений задач гарантирующего оценивания и линейного программирования [9, 25, 26, 54, 47], а применительно к методу Вейсфельда этот результат является новым. Кроме того, в первой главе показано, как алгоритм Вейсфельда. может быть использован в важной с прикладной точки
В последующих разделах система (2.7) будет использована для получения математической модели задачи оценивания.
2.2.4 Особенности начальной выставки
Для инициализации вычислительного процесса в БИНС необходимо определить ориентацию приборного трехгранника Ог относительно идеального географического трехгранника Ох в начальный момент времени. Эта взаимная ориентация определяется матрицей .0(0): для произвольного трехмерного вектора I справедливы равенства
1Х = 0(0) 1г или От(0) 1Х = 1~. (2.8)
В бортовых алгоритмах строится лишь приближенное значение О'(О) матрицы 0(0). которое берется из соотношения
' fix N ( fL
D'T( 0) f2x = fL
^ 1зх J [fL /
соответствующего второму равенству в (2.8). Здесь (fix, fax, /зх)Т - известные проекции удельной силы на оси идеального географического трехгранника, а (/[г, faz, fL)T
- известная тройка чисел, составленная из показаний акселерометров. Третья (верти-
кальная) ось географического трехгранника направлена противоположно вектору силы тяжести, и поэтому при неподвижном основании поворотного стола
(fix, fax, hxf = (0,0, д)т.
Замечание 2.2. В уравнении (2.9) использован знак «=», так как это векторное уравнение, вообще говоря, является несовместным. Причина несовместности заключается в том, что матрица D'(0) ортогональная, а, вообще говоря,
II (Я*> fL, fL)r II Ф II (fix,fax,hx)T\ = g-
При малых углах курса, тангажа и крена в системе уравнений (2.9) используются первые два из трех соответствующих скалярных уравнений
—д sin/-c'(0) cos0'(O) = f'lz
д sin0'(O) = f'2z (2.10)
g cos0'(O) cosk'(O) = f3z,
из которых однозначно находятся в'(0) и к'(0). Поэтому будем рассматривать знак «=» как точное равенство для первых двух уравнений (2.9).
Расчетное значение ф'(0) угла курса определяется на основании сторонней информации ■фех*‘(0), то есть нз показаний датчика угла стенда:
ф'( 0) = ^ext(0), ^ext(0) = гр( 0) + 5ф( 0), (2.11)