Проективные представления симметрических групп

• Автор: Иванов, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Формула для размерности косой сдвинутой диаграммы Юнга и ее приложение
1.1. Алгебра супер симметрических функций
1.2. Формула для размерности косой сдвинутой диаграммы Юнга
1.3. Доказательство формулы для характеров бесконечной спин-симметрической группы
Глава 2. Комбинаторная формула для факториальных (^-функций Шура
2.1. Правило отщепления переменной для факториальных (^-функций Шура
2.2. Комбинаторная формула
Глава 3. Гауссовский предел для проективных характеров больших симметрических групп
3.1. Спин-симметрическая группа и группа Сергеева
3.2. Умножение классов сопряженности в группах Сергеева
3.3. Меры Планшереля на множестве проективных представлений симметрических групп
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Конечные симметрические группы 5„ относятся к числу фундаментальных объектов математики. Характеры неприводимых представлений групп были описаны Фробениусом в 1900 году. Они параметризуются всевозможными разбиениями А числа п. Классы сопряженных элементов в вп также параметризуются произвольными разбиениями числа п. Фробениусом была найдена формула

Здесь Хр — значение неприводимого характера хЛ на классе сопряженности с индексом р, лрр ж зл — некоторые симметрические функции. А именно, зд(ж1,а;2,...) суть функции Шура. Они образуют базис в пространстве однородных симметрических функций степени п. Функции Рр суть произведения сумм Ньютона:
Рр(*1»*2,...) = (Ц*?1) (ИХ2) ••••
Они образуют другой базис в том же самом пространстве. Формула Фробениуса показывает, что таблица характеров группы есть матрица перехода между двумя естественными базисами в симметрических функциях. Этот результат позволяет изучать характеры средствами алгебраической комбинаторики (теории симметрических функций).
Обозначим через 5^ индуктивный предел групп , отвечающий естественным вложениям в 5п+1. Группу 5^ можно реализовать как группу всех финитных перестановок натурального ряда {1,2,3,...}.

Это один из важнейших примеров счетной локально-конечной группы. Мы будем называть 5,» бесконечной симметрической группой.
В 1964 году в своей работе [52] Тома описал характеры группы 5оо. Все представления 5оо (кроме двух одномерных) бесконечномерны. Их характеры нельзя определять так, как это делается в теории конечномерных представлений. Тома определял характер как неразложимую центральную положительно определенную нормированную функцию. Идея этого определения восходит к фон Нейману. Тома показал, что характеры группы 5^ параметризуются точками некоторого бесконечномерного симплекса П. Точкой ш € П является пара последовательностей (а,/?), где
а = (а1 > а2 > • • • > 0), (3 = (# > 02 > ■ ■ ■ > 0), £ а; + < 1.
Классы сопряженности в 5^ задаются произвольными последовательностями целых чисел вида
= Р1> Р2> ■■■■
Тома получил формулу для значения характера х“ на классе Ср:
х"|с, = П Рп(аР)>
к:рк>

оо оо
рт(а|/3) = 52аГ+(-1Г-152#т, т> 2.
<=1 1=
В отличие от теоремы Фробениуса результат Тома дает явную формулу для значения характеров. Характеры 5^ устроены одновременно и проще, и сложнее, чем характеры группы 5П. С одной стороны, они параметризуются бесконечномерным пространством. С другой стороны, для них получается совершенно явная формула.
Доказательство Тома использовало довольно сложную аналитическую технику. Как выяснилось впоследствии, теорема Тома эквивалентна описанию так называемых вполне положительных последовательностей, которое было получено Эдреи еще в 1954 году в [23] близкими методами.

Теорема 1.3.12. (Назаров [43]) Пусть
: (Ti > 72 > • • • > 0)
lim 'М.”) — ^ i = 1 2 ... , A(n) h п.
п-+оо п
Обозначим поточечный предел последовательности £я, определенной формулой (1.3.1), через Фт. Тогда
Ф y(tp
П Pt(y)m'^ • 2 (,)i 1,1, если /5—разбиение «>
на нечетные части, 0, в противном случае,
где т,(р) — число частей разбиения р, равных г, а —ранее введенный элемент группы 5оо.
Доказательство. Отметим, что из Определения 1.3.6 и Предложения 1.3.5 следует, что множество {!рх | А € ИРП} является ортонормаль-ным базисом в пространстве функций, сосредоточенных на {С1авв(р) и гС1а8в(р) | р 6 ОР„} с введеным ранее стандартным скалярным умножением. Пусть р — разбиение числа к на нечетные части. Тогда
Ф7(1р) = lim = lim V , уЛ ÿ»(tp).
Я-+00 ¥>А(“)(1) »-><*> Jz< VA(l)
PXin)(tP) _ £ /ReSt^W
Воспользуемся ранее полученным равенством
/Res, Vа _2^р;(А)
xwV» (iau*) ’
получаем
Ä ^ - Ä ^
(1.3.3)