Определяемость абелевой группы ее группой автоморфизмов и центром кольца эндоморфизмов

• Автор: Вильданов, Вадим Кадирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 73 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Условия изоморфизма групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения
1.1. Обозначения и некоторые необходимые результаты
1.2. Условия изоморфизма групп автоморфизмов групп ранга 2
1.3. Изоморфизм групп автоморфизмов
Глава 2. Определяемость абелевых групп их группами автоморфизмов
2.1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения их группами автоморфизмов
2.2. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения идемпотентного типа их группами автоморфизмов
Глава 3. Определяемость абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов
3.1. Известные результаты
3.2. Необходимые условия определяемости абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов
3.3. Один класс абелевых групп, определяющихся центрами их
колец эндоморфизмов
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы.
Кольца эндоморфизмов и группы их обратимых элементов всё чаще становятся объектом исследования в теории абелевых групп. Большое значение в развитии теории колец эндоморфизмов абелевых групп имеют работы Р. Бэра [10], И. Капланского [2], JI. Фукса [29, 30] и многих других авторов. В теории колец эндоморфизмов занимает особое место теорема Бэра-Капланского. В ней говорится, что любые две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны. Более того, в ней утверждается, что всякий изоморфизм колец эндоморфизмов групп индуцируется некоторым групповым изоморфизмом. Эта теорема положила начало тенденции изучения абелевых групп совместно с их кольцами и группами эндоморфизмов. По мнению П.А. Крылова, A.B. Михалева и A.A. Туганбаева, авторов книги „Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов“ [17], изучение колец эндоморфизмов абелевых групп позволяет получить дополнительные сведения о самих группах, ввести в рассмотрение новые методы и понятия, выделить интересные классы групп. Кроме того, изучение колец эндоморфизмов стимулирует дальнейшие исследования по теории модулей и их колец эндоморфизмов.
Теоремы типа Бэра-Капланского авторы книги [17] называют теоремами изоморфизма. В таких теоремах утверждается, что две группы из данного класса изоморфны, если их кольца эндоморфизмов изоморфны. Существует и более общая формулировка теоремы изоморфизма, когда изоморфизм групп не требуется. Наконец, вместо колец эндоморфизмов в указанном типе теорем могут фигурировать группы эндоморфизмов, автоморфизмов, гомоморфизмов и другие алгебраические структуры.
Кольца эндоморфизмов рассматриваются в работах Р. Бэра [10], И.

Капланского [2], JI. Фукса[29, 30], А.Г. Куроша[19]. Исследованию взаимосвязей абелевых групп и их колец (групп) эндоморфизмов посвящены работы А. М. Себельдина, С.Я. Гриншпона, С. Баззони, Ц. Метелли и многих других авторов [1, 12-15, 21-27]. Взаимосвязи абелевых групп и их групп гомоморфизмов посвящены работы [6, 8].
Группы автоморфизмов абелевых групп являются группами обратимых элементов колец эндоморфизмов и представляют самостоятельный интерес. В. Либерт и X. Лептин [3, 4] доказали, что для р > 2 из изоморфизма групп автоморфизмов двух р-групп следует изоморфизм самих групп. Другими словами, р-группа определяется своей группой автоморфизмов в классе всех р-групп для р > 2. В книге [19] А.Г. Курош ставит задачу изучения групп автоморфизмов абелевых групп без кручения. И. X. Беккер и С. Ф. Кожухов в своей книге [7] изучают строение групп автоморфизмов групп без кручения в предположении, что группы автоморфизмов конечны. Изоморфизмы и автоморфизмы линейных групп исследовали в своих работах Ван-дер-Варден, Шрайер, Дьедонне, Хуа, Райнер. Автоморфизмы линейных групп над коммутативными кольцами рассматривали О’Мира, Макдональд, Уотерхаус, В.М. Петечук, в более общем случае ассоциативных колец глубокие результаты получены A.B. Михалёвым, И.З. Голубчиком, Б.И. Зельмановым.
Несмотря на то, что задача определяемости абелевой группы без кручения своей группой автоморфизмов имеет отрицательное решение уже в классе групп без кручения ранга 1, остается актуальным вопрос об изучении тех подклассов групп, которые определяются своей группой автоморфизмов в более или менее широких классах абелевых групп.
Задача определяемости абелевой группы своей группой автоморфизмов связана с определяемостью группы кольцом эндоморфизмов. Очевидно, что если группа не определяется своим кольцом эндоморфизмов в неко-

PGL^t'), E(At,)) ^ PGL(n(a), E(Ba)).
Если r(AT ) > 2, то E(ATi) = E(Ba) и п(т') = n(cr) (лемма 1.5). Следовательно,
E(AT) “ ^(F7).
Пусть теперь r(Äг,) = 2 и C(KT>tA) — C(Kaß)- Рассмотрим
7(Л) G C(K^iA),irW = [71. • • ■ .7i(r'). • • • ,7/=],
^ 7^ j> 7» = ^n{i)i1j(r') = T(h) =
5 G C(KT'tA), <5 = [5i, • • •, V)> • ■ ■ ■
V* ф j, Si = In{i),bj{T') = Mo =
Изоморфизм сохраняет инволюции, значит, ф(5) = [ej,. .., £j(a), где е? = /n(j). Так как j(h)ö ф (h), то £j^ ф Z(AutBa). В лемме 1.10 показано, что всякую нецентральную инволюцию в группе Aut#'7 можно привести подходящим внутренним автоморфизмом к инволюции вида Mq. Таким образом, можем считать, что
ф{&) = [еЬ...,Мо,
При таком изоморфизме диагональные матрицы из AutAT переходят в диагональные Aut Ва.
Имеют место следующие уравнения:
(7 (h)ö)2 = /,
где fj, некоторая диагональная матрица. Так 2А = А, то для любого h G Е+(АТ‘), h/2 G Е+(АТ') и 7(h) = ^{h/2)2. Пусть
Ф{ l{h/2)) = v=[uu..., vj[a), ...,ик].

1 h 0