О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций

• Автор: Томашевская, Елена Брониславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции
1.2 Результаты диссертации
1.3 Используемые результаты
2 Диофантовы приближения числа 7Г числами из поля Q(V3)
2.1 Арифметические свойства
коэффициентов линейной формы
2.2 Уточнение знаменателей
коэффициентов линейной формы
2.3 Асимптотические оценки
линейной формы и знаменателей

3 Оценка меры иррациональности числа log 5 +
4 Диофантовы приближения значений логарифмической
функции
4.1 Оценка меры иррациональности значений функции log ж
4.2 Оценка меры иррациональности линейной комбинации чисел
log 2 и arctan
4.3 Оценка меры иррациональности значений функции arctan ж
4.4 Оценка меры иррациональности числа arctan і
Литература
Глава
Введение
1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции
Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.
Мерой иррациональности //(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань чисел д таких, что для любого є > 0 существует положительное число с/о (є), которое удовлетворяет следующему условию: неравенство
> д-£

7- “
выполняется для всех целых чисел р, д, где д > до (є).
Известно, что мера иррациональности любого иррационального числа д > 2. К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.
Глава 2. ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЧИСЛА ж ЧИСЛАМИ ИЗ ПОЛЯ Q( ч/З)
2.2 Уточнение знаменателей
коэффициентов линейной формы
тт о г гг Вп (34п)!(42?г)!(81п)!
Лемма 2.5. Пусшь = (2,п)!(68к)!(68п)г Ае В» 6 N,
Bn) = 1;
In = В"1 б gglre 242" —т = (лфп) л/3 + Л2(гг)') 7Г + Лз(п)-у/3 + Л4(п).
г sm а
(2.12)
Тогда все Л2(п) £ Z.
Доказательство.
Сначала приведем интеграл I к гипергеомстрическому виду е помощью замены х = cos о: + гл/i sin ct. Имеем
2 cos a — х = cos a — iy/t sin a, ж — cos a = гД sin a;,
x(2 cos a—x) — cos2 a+t sin2 a, —ж+cos a+i sin a = i (l — ft) sin a,
x — cos a + i sin a = i (l + ft) sin a;
П . __L_ . / = . /Sina)n _ . t21n4(l -fn£

г sm a
2(с08 а:)136п+2 ) +
1 ° (2-13)
(2 — /3)170п+1 г рпД(1_/)8ы
226га—1 / / „2 68п+1
{ (1+(2-Д) г)
Применим формулу Эйлера для гипергеометрической функции Гаусса Р(а, Ь; с; г) [1, с.72].