Об абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на фильтрованных вероятностных пространствах

• Автор: Урусов, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Разделяющие моменты
§ 1.1 Определение и свойства разделяющих моментов
§ 1.2 Использование разделяющих моментов для доказательства
сингулярности гауссовских мер
2 Вспомогательные сведения из стохастического анализа
§ 2.1 Локальные времена
§ 2.2 Случайная замена времени
§ 2.3 Теорема Дамбиса-Дубинса-Шварца
* § 2.4 Непрерывные локальные мартингалы на стохастических
интервалах
3 Разделяющие моменты для решений стохастических дифференциальных уравнений
§ 3.1 Решения стохастических дифференциальных уравнений
§ 3.2 Явный вид разделяющего момента
§ 3.3 Примеры
§ 3.4 Доказательство теоремы 3.10
4 Разделяющие моменты для процессов Леви и процессов Бесселя
§ 4.1 Разделяющие моменты для процессов Леви
§ 4.2 Разделяющие моменты для процессов Бесселя
Список литературы

Введение
1. Вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности двух вероятностных мер, индуцируемых случайными процессами, представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и для приложений к математической статистике. Одними из первых результатов в этом направлении были известные альтернатива Какутани (см. [28]) и альтернатива Гаека-Фельдмана (см. [21], [22]). По мере развития теории мартингалов и стохастического исчисления изучение вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности стало возможным для широкого класса случайных процессов: точечных процессов, диффузионных процессов, процессов с независимыми приращениями (см. [4, Гл. IV, § 4а-§ 4с])
Точечные процессы и мультивариантные точечные процессы рассматривались в работах Кабанова, Липцера и Ширяева [24] и [25].
Вопросами абсолютной непрерывности и сингулярности для диффузионных процессов занимались многие авторы: Хитсуда [23], Кадота и Шепп [26], Кайлат [27], Ершов [3], Липцер и Ширяев [6], ... Эти результаты просуммированы и дополнены авторами в монографии Липцера и Ширяева [7, Гл. 7] (см., также, монографию Жакода и Ширяева [4, Гл. IV, § 4Ь]).
Процессы с независимыми приращениями также широко исследовались (см. работы Скорохода [8], [9], [10], Кунита и Ватанабе [31], Ньюмана [34], [35], Мемэна и Ширяева [33]). Отмстим, что Ньюман [34], [35] установил необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для процессов Леви (о критериях абсолютной непрерывности и сингулярности речь не идет, так как здесь они тривиальны: распределения двух процессов Леви либо совпадают, либо сингулярны). Мемэн и Ширяев [33] установили критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности,

а также сингулярности для процессов с независимыми приращениями.
При изучении рассматриваемых вопросов очень полезными оказались интегралы Хеллингера, введенные Хеллингером, и процессы Хеллинге-ра, введенные Липцером и Ширяевым в работе [32]. В диссертации используется другой подход к исследованию абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Этот подход основан на понятии разделяющего момента.
2. Мы рассматриваем пару вероятностных мер Р и Р на измеримом пространстве с непрерывной справа фильтрацией (^г«)<е[о,оо) •
Оказывается, что всегда существует разделяющий м,ом,ент, для Р и Р (см. теорему 1.3 и определение 1.4). Неформально, разделяющий момент — это такой расширенный момент остановки S, “до которого меры Р и Р эквивалентны, а после которого — сингулярны”. Здесь расширенный момент остановки — это [0,оо] U {5}-значный момент остановки, где 5 — такая точка, что (5 > оо (см. определение 1.2). Введение дополнительной точки 6 потребовалось потому, что меры “могут никогда не стать сингулярными”; на соответствующих элементарных исходах S = 5.
Разделяющий момент определен однозначно Р,Р-п.н. Для пояснения сказанного выше отметим, что Р ~ Р <=*> S = 8 Р,Р-п.н., а также Р _L Р <==> S ^ оо Р, Р-п.н. В качестве версии разделяющего момента можно взять
S = inf{# G [0, оо]: Zt — 0 или Zt = 0},
где “inf” отличается от “inf” лишь тем, что inf0 = 8, а (^г)<е[0,оо] и
{Zt)te[0,со] процессы плотности мер Р и Р относительно меры Q =
(при этом Zoo = щ, Zqq = щ). В терминах разделяющего момента легко выражаются такие свойства, как локальная абсолютная непрерывность, абсолютная непрерывность, а также сингулярность для Р и Р (см. лемму 1.7). Если мы знаем как устроен разделяющий момент, то мы знаем

Предположим, что коэффициенты Ь и а уравнения (3.1) удовлетворяют следующим условиям:
Следующий результат доказан в работе [20].
Предложение 3.6 (Энгельберт, Шмидт). Пусть коэффициенты Ь и о уравнения (3.1) удовлетворяют условиям (3.6) и (3.7).
(1) Тогда для любого начального условия хо €Е М. существует единственное решение (3.1) в смысле определения 3.4.
(и) Обозначим это решение через РХо. Рассмотрим стохастический базис (£1,0,(бг)ге[о}оо)1®) с непрерывной справа и полной фильтрацией. Пусть В — ({л,0) -броуновское движение, выходящее из точки в(хо) • Определим процесс (Д)гб[0,оо) и (Ог)-замену времени (тг)щ[о,оо) по формулам
о(х) ф 0 Vx £ К,
(3.6)
(3.7)
Положим
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
к{х) — p(s l(x))a(s 1(х)), х G s(R).
So ^ (^s)ds, 6CAU t < Ts(—00^3(00) (-^))

(3.13)
OO, 6СЛЧ t ^ -^s(—oo),s(oo) (-^) •>
rt = inf{s G [0,00): As > t}
( как обычноj inf 0 = 00). Тогда
PX0 = Law(s_1(Sn); t € [0,oo)|Q),
(3.14)