Неравенства Гильберта и Бесселя для некоторых систем функций

• Автор: Царева, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Введение ,
1 Оценки корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов второго порядка
1.1 Основные понятия
1.2 Оценка модуля корневой функции
1.3 Оценка модуля корневой функции и ее производной первого
порядка через ^-нормы корневых функций цепочки
1.4 Оценки С- и Ьр-норм корневых функций и их производных первого
порядка
2 Достаточные условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем корневых функций дифференциальных операторов второго порядка в пространстве Д
2.1 Достаточное условие бесселевости систем корневых функций,
выражаемое через систему экспонент
2.2 Некоторые вспомогательные факты
2.3 Критерий бесселевости систем собственных функций, выражаемый
через линейную комбинацию тригонометрических функций
2.4 Критерий гильбертовости систем собственных функций, выражаемый через линейную комбинацию тригонометрических функций
3 Необходимые условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карле-

мана
3.1 Необходимое условие бесселевости систем собственных функций
в пространстве Ь2
3.2 Необходимое условие гильбертовости систем собственных функций
в пространстве Ь2
Литература

Настоящая диссертация посвящена исследованию спектральных свойств обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов.
Изучаются вопросы, связанные с базисными свойствами (бесселевости, гиль-бертовости) систем корневых функций обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка при невыполненном условии Карлемана.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В.А. Стеклова [76, 98], Л.Д. Тамаркина [100, 77], Д.Биркгофа [88] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. На данный момент проблема базисности систем корневых функций в случае самосопряженных дифференциальных операторов и самосопряженных краевых условий в основном решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [95], система собственных функций формально самосопряженного дифференциального оператора с произвольными самосопряженными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонормированный базис в пространстве Ь2. Отметим, что в этой ситуации понятие дифференциального оператора, как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных дифференциальных операторов [65].
Однако полвека тому назад возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики (таких, как задачи об устойчивости турбулентной плазмы, расчета ядерных реакторов и т.д.), приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач та-

Глава
Достаточные условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем корневых функций дифференциальных операторов второго порядка в пространстве
2.1 Достаточное условие бесселевости систем корневых функций, выражаемое через систему экспонент
Цель настоящего параграфа - установить связь между свойствами бесселевости систем корневых функций {щ Цгг*||—1 }^° дифференциального оператора (1.1.1) и систем экспонент.
Сформулируем во избежание терминологических недоразумений основные понятия, которые будут использоваться в этой и последующих главах, следуя при этом монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [15].
Пусть Н - гильбертово пространство, а {и/с}^! - некоторая система элементов