Исследование краевых задач : Проблема симметризации гиперболических уравнений второго порядка и сингулярное разложение дифференциальных операторов на полуоси

• Автор: Гордиенко, Валерий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 112 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Симметризация смешанной задачи
для векторного волнового уравнения
ГЛАВА 2. Симметризация смешанной задачи
для гиперболического уравнения второго порядка
ГЛАВА 3. Симметризация трехмерного волнового уравнения
ГЛАВА 4. Сингулярное разложение дифференциального
оператора на полуоси
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В диссертационной работе изложены две темы исследования: построение интегралов энергии для гиперболических уравнений второго порядка (главы 1, 2, 3) и сингулярное разложение векторного дифференциального оператора (глава 4).
I.Интегралы энергии
Гиперболические уравнения и системы описывают волновые процессы и поэтому играют важную роль в математической физике. Определение гиперболических уравнений и систем дал в 1937 г. И. Г. Петровский. Его определение основано на свойствах корней характеристического полинома. Он же доказал корректность задачи Коши, используя метод Фурье. В 1953 г. Ж. Лере предложил более простые доказательства результатов Петровского, обратив больше внимания на вопросы топологического характера. В 1954 г. К. Фридрихе дал другое определение гиперболических систем основанное на симметрии матриц и не требующее вычисление корней полиномов. Доказательство корректности задачи Коши для своих систем К. Фридрихе основывает на тождестве интеграла энергии, которое легко следует из симметрии матриц и получающихся из этого тождества априорных оценках. Перенос на переменные коэффициенты и младшие члены в системах Фридрихса значительно проще чем в системах гиперболических по Петровскому.
Теория смешанной задачи для системы Фридрихса с диссипативным граничным условием построена в работах П. Лакса, Р. Филлипса, а также изложена в учебнике уравнений математической физики С. К. Годунова [1]. Корректность смешаной задачи для систем гиперболических по Петровскому доказал О. Крайс [2], а для уравнений гиперболических по Петровскому — Р. Сакамото [3]. Это очень трудные работы, кроме того для переноса на результатов на переменные коэффициенты приходится использовать весьма тяжелую технику псевдо-дифференциальных операторов. Даже такая очень интересная работа Миятаки [4], в которой исследуется смешанная задача для волнового

уравнения с граничным условием первого порядка, не кажется достаточно простой для такого классического уравнения как волновое. В связи с этим, возникает желание попытаться построить более элементарную теорию смешанной задачи хотя бы для наиболее важных гиперболических уравнений и систем.
В диссертации (главы 1 и 2) ряд смешанных задач связанных с уравнением второго порядка гиперболических по Петровскому сводится к симметрическим системам Фридрихса с диссипативным граничным условием. Причём, и исследование корректности смешанных задач и построение симметрических систем сводится к хорошо поставленным задачам линейной алгебры.
В главе 1 рассматривается смешанная задача для системы п волновых уравнений в области 4 > 0, х > 0, —оо < у < оо, граничное условие при х = 0 задается в виде системы га линейных соотношений между производными первого порядка
д2и д2и д211 1^-^-1^ = 0прИ4>0’*>0’ ^ ди ди ди , ,
РЖ + ^ + Л^ = ° ПРИ * = °- (°-2)
При t = 0 заданы начальные данные Коши.
Здесь и — столбец из га комплекснозначных функций (мх,И2>..., «„); Р, <3, Я - комплексные матрицы размера га х п.
В теории смешанных задач известно условие Лопатинского. Это условие выполнено тогда, когда смешанная задача не допускает построение примеров некорректности типа примера Адамара. Условие Лопатинского есть необходимое условие корректности смешанной задачи. О равномерном условии Лопатинского (р. у. Л.) говорят в том случае, когда условие Лопатинского выполнено для данной задачи и всех задач с достаточно близким граничным условием.
Выяснить выполняется ли р. у. Л. для данной конкретной задачи
не так просто. Поэтому очень важно, что вопрос о р. у. Л. для задачи
(0.1), (0.2) удалось свести к вопросу об асимптотической устойчивости следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений
В § 5 доказаны утверждения о р. у. Л. сформулированные в § 2.
В § 6 в качестве примера рассмотрены граничные условия первого и второго порядков в смешанной задаче (0.1), (0.2).
Результаты этой главы опубликованы в [17].
1. Условия гиперболичности оператора второго порядка. Число граничных условий. Специальная форма записи гиперболического оператора второго порядка
Оператор
называется гиперболическим (по Петровскому) в области П если у уравнения
Со(1;,х,у,т,£,г)) = ап^,х,у)т2 + 2ап^,х,у)т^ + 2а13(1, х, у)ту+
+а2 2(*, ж, «/)£2 + 2 ап(Ь, х, у)^у + а33(4, х, у)у2 = 0 корни т вещественны и различны при всех вещественных
Для этого необходимо, чтобы полином Co(t,z,y;T,^,rj) был пропорционален полиному с вещественными коэффициентами (см., например, [18], § 5.5.). Мы будем считать, что коэффициенты ajk(t,x,y) вещественны.
Легко получить условие гиперболичности в виде неравенств на коэффициенты ajk(t,x,y):
f > V, f2 + V2 Ф 0 и всех (t, х, у) е Q.
«и > О, ÖJ2 - Оцв22 > О,
(«12 “ ОЦ«22)(<4 ” аИаЗз) ” (Ö12Ö13 ” Ö11Ö23)2 > °-