Задача гарантированного динамического поиска

• Автор: Пивоварчук, Денис Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с.

1 Линейная нестационарная задача поиска
1.1 Постановка задачи
1.2 Вспомогательные определения и утверждения
1.3 Множество всех возможных траекторий динамической системы
1.4 Условие уклонения траектории от терминального множества
1.5 Необходимое и достаточное условие решения дискретной задачи поиска
1.6 Декомпозиция необходимого и достаточного условие решения
дискретной задачи поиска
1.7 Свойства функций ДДо;, а)
2 Задача поиска в случае двумерного терминального множества
2.1 Задача поиска с линейной динамикой прячущегося объекта
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Вспомогательные определения и утверждения
2.1.3 Алгоритм построения управления поиска
2.1.4 Построение управления движения вдоль границы гладкого выпуклого компакта
2.1.5 Построение управления поиска
2.1.6 Оценки скорости изменения области неопределенности
2.1.7 Построение ограничивающего множества

2.1.8 Запись алгоритма поиска в терминах эллипсоидального
исчисления
2.1.9 Некоторые особенности численной реализации алгоритма поиска
2.2 Задача поиска с простой динамикой прячущегося объекта
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Динамика области неопределенности на плоскости
2.2.3 Траектория обхода области неопределенности
2.2.4 Примеры применения метода
3 Операторные конструкции в нелинейной задаче поиска
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные определения и утверждения
3.3 Операторные конструкций в задаче поиска
3.4 Телесные множества и их свойства
3.5 Аппроксимирующий оператор
Литература

Работа посвящена одной из задач гарантированного управления динамической системой в условия неопределенности — задаче гарантированного динамического поиска.
В литературе рассматриваются различные постановки задач динамического поиска. Большинство из них характеризуются следующими понятиями: динамическая система, описывающая процесс поиска, множество допустимых стратегий ищущего объекта, множество допустимых стратегий прячущегося объекта и условие, выполнение которого означает обнаружение прячущегося объекта ищущим. Цель ищущего объекта, при выборе своей стратегии, — обеспечить выполнение условия обнаружения, цель прячущегося объекта — избежать выполнения условия обнаружения. Задачи поиска характеризуются тем, что ищущий объект при выборе своей стратегии обладает только априорно известной до начала процесса поиска информацией, такой как множество возможных стратегий прячущего объекта и множество возможных начальных положений системы. Никакой дополнительной информации о текущем положение динамической системы и стратегии, выбранной прячущимся объектом, во время процесса поиска не поступает. Другая важная черта задач поиска состоит в том, что момент выполнения условия обнаружения не фиксирован. Таким образом, задачи поиска составляют отдельный класс задач управления.
Среди постановок задач динамического поиска можно выделить три основ-' ных класса: стохастические, игровые и гарантированные задачи поиска. Данное деление определяется различным понимаем решения задачи.
Примером стохастической задачи поиска является задача, в которой априорно известна (или удовлетворяет заданным уравнениям) функция распределения вероятности выбора прячущимся объектом заданной стратегии из множества допустимых стратегий. Под решением задачи понимается допустимая стратегия ищущего объекта, максимизирующая некоторый функционал, который отражает эффективность стратегии поиска. Например, таким функционалом может быть вероятность выполнения условия обнаружения на заданном отрезке времени. Стохастические задачи поиска исследовались в работах В. И. Аркина, О. Хеллмана, В. А. Абчука, В. Г. Суздаля, Л. А. Петросяна,

некоторое управление и(-), т.е. зададим траекторию движения ищущего объекта. Тогда из области неопределенности нужно исключать точки, для которых выполняется условие обнаружения. В результате этого, область неопределенности 0(£|и(-)) становится, вообще говоря, невыпуклой. Предложенный ниже алгоритм построения управления поиска позволяет описать динамику области неопределенности с помощью выпуклых множеств, которые, в свою очередь, эффективно описываются с помощью опорных функций.
Опишем основную идею алгоритма построения управления поиска. Пусть в момент времени Ь' область неопределенности П(г') является выпуклым компактом. Построим такой выпуклый компакт 0 с II2, что
тгяП(0 С 0 + 2М. (2.5)
Здесь М — терминальное множество, описанное в постановке задачи. Далее, найдем такой выпуклый компакт ИД что будут выполнены следующие соотношения
1гн11н({ + й1',{1{1,))се + 2М + 6Цг, (2.6)
7Г нЯнУ + б1? + Г, Ля(*' + т|Д ОД) П тг+(0 + т¥)) Св + 6У, (2.7)
для всех 6 е [О, Д] и всех т е [0, <5], где Д — заданное число.
Согласно определению области неопределенности, в момент времени И прячущийся объект находится в области П(£'), проекция (матрица 7гя) которой содержится в выпуклом компакте 0 + 2М. Через время 6 прячущийся объект может оказаться только в области Дя(£' + <5|£', 0(4')), проекция которой, согласно условию (2.6), содержится в выпуклом компакте 0 + 2М + 6¥. Следовательно, расширяющуюся проекцию области неопределенности мы ограничили другим расширяющимся множеством, динамика изменения которого описывается проще (прибавлением множества <5 ИД. Условие (2.7) заключается в том, что если прячущийся объект в момент времени Ь'+т оказался в области 0 + т¥, то к моменту времени £' + 6 он не сможет выйти за границу выпуклого множества 0 + 6¥.
Замечание. Когда мы говорим, что прячущийся объект находится внутри некоторого множества А С II2, то имеем ввиду, что пну(0 € А. Для нас, в первую очередь, интересно значение именно ттну(Ь), т.к. условие обнаружение задано для проекции, а не для всего фазового вектора у(£).