Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений

• Автор: Азизов, Музафар
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 90 c. : ил

ГЛАВА I. Приближение многочленами решений задач Коши ... 19 § I. Адпроксимационный метод решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с гладкими
коэффициентами
§ 2. Приближение Ай-методом решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой
правой частью
§ 3. Приближение Ай-методом решения систем дифференциальных уравнений с аналитической правой часшз
§ 4. Приближение АИ-метоДом решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами
Глава II. Применение многочленов при решении краевых
задач
§ I. Адпроксимационный метод решения задачи Гурса для линейных гиперболических уравнений
с гладкими коэффициентами
§ 2. Приближенное решение периодической краевой задачи для линейного дифференциального уравнения
§ 3. 0 применении методов комбинированного типа
к решению краевых задач
Литература

Методы решения дифференциальных уравнений можно условно разделить на две большие группы. К первой группе относятся так называемые численные методы, наибольшее распространение среди которых получили разностные методы. Отличительная черта численных методов состоит в том, что ответом в результате их применения служит число или некоторая совокупность чисел. Во вторую группу приближенных методов входят методы, называемые аналитическим. От численных методов их отличает тот факт, что ответом в результате их применения служит элемент функционального класса, например, многочлен, сплайн и т.д.
Получение приближенного решения дифференциального уравнения в аналитическом виде предпочтительнее при дальнейших операциях над ним, например, при дифференцировании. Кроме того, при аналитическом приближенном методе приближенное решение принадлежит, как правило, некоторому конечномерному пространству,что облегчает его хранение в памяти ЭВМ. Сейчас известно большое число аналитических приближенных методов. К ним относятся такие методы, как метод Галеркина, проекционно-итеративные методы типа метода Ю.Д.Соколова, асимптотические методы, например,метод Крылова-Боголюбова-Митропольского, методы малого параметра и др.
В семидесятых годах В.К.Дзядык [13, 15-17] предложил так называемый аппроксимационный метод (а-метод) решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Применительно к задаче Коши для линейных дифференциальных уравнений (л.д.у.) с многочленными коэффициентами

Ч * § РгС*)/'0 -Я*), (І)
/’СО = # (г.о г-о (2)
на некотором сегменте [-/г,, /г. ] ( А =* ( і = О,Г ), £(^0 - алгебраические многочлены и
р0(х) &• с = йші >
(3)
этот метод заключается в следующем 116 ] . Отправляясь от эквивалентного задаче (I)—(2) интегрального уравнения
ре(*)$(х)- ] Ре (*Л)у(1)Л ♦ їт(х), (4)

в котором £т(ж) представляет собой многочлен некоторой степени т ,а Р£(х, А) - многочлен по переменным ос и і. , сумма показателей которого по ж и £ не превышает
с ^ {Уе£ 2^0*0 + /- /}

с=0 *
вводится в рассмотрение интегральное уравнение

+ (5)

*<*) ^ § <г, ТЛМ) '
(х.) - полиномы Чебышева первого рода порядка п+с , С-1 и ^ц+1 - некоторые неизвестные величины. Решение
уравнения (5), которое при фиксированном И существует для всех достаточно малых & > 0 , находится из системы линейных алгебраических уравнений. Подученные алгебраические много-

*-/ А' г ?
х г «,<*) £ ?; *«.) ] Г(£)Л - #(*)
6-С/ ] и п

л-1
иу(М;х.) « ^ ^(ж) |(з*^.у С^;з), г]^ + £(х)

- Л7 а.(х)Х:/а а.)15Г.(0 <« + Кг-).
*'=0 г-0 '! <* о
Приближенное решение задачи (4.1)-(4.2), полученное при помощи АИ-метода, имеет вид
, I 0-0*' "/-у (4.8)
Теорема 4.1. Пусть задача Коши
#и)(°) = 0 и=&)<==>
К_1 х (4.9)
«(*)- ^ «,.(-*) [ 11и-Ч)<и. * {О),
<-0
где (л!) (с' = 0, н - У ) и £(х) - некоторые непрерывные функции,
«(Ж) - /'V*); « Сж) - ^ Щ * *'е~‘
0 <■-' J-l (к-б-у)
при некотором к > 0 задана на сегменте 10, к] и пусть л-1 . .
1-А/г122 I | к* = £ ^ ^ • Тогда, если отправляясь от
сумматорного оператора (2.6) и матрицы чисел (2.8), для некоторых натуральных Н и у по формулам (4.8) построить многочлены -уу (№; ос") , то они будут приближать решения задачи (4.9) таким образом, что будут выполняться неравенства