Некоторые применения принципа площадей и структурных формул

• Автор: Суетин, Валерий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 130 с. : ил.

1. Исторический обзор и проблематика
2. Основные результаты
Глава I. Обобщение принципа площадей и их приложения
3. Теорема площадей в классах £'[п]
4. Оценки начальных лорановских коэффициентов
в классах ХУ[п]
5. Неравенство площадей в подклассах S[n] класса S
6. Коэффициентные неравенства для / £ 5[?г]
7. Новые неравенства площадей для однолистных функций
с р-кратной круговой симметрией
8. Оценки радиусов кругов покрытия
Глава II. Применение методов структурных формул
9. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений
11. Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений!
12. Обобщение одного класса локально конформных отображений
Заключение
Литература
Список публикакций
Приложение 1
Приложение 2

§1. Исторический обзор и проблематика
1. История геометрической теории функций комплексного пере-* менного насчитывает полтора века и берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему ’’Основы общей теории функций одной комплексной переменной”, а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию ”0 гипотезах, лежащих в основании геометрии”. В них были введены фундаментальные математические понятия ’’многократно протяженной величины” (рнманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие.
• Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный ’’принцип Дирихле”, положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейерштрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории функций. Вей-ерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на
• основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию автоморфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебс-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила зна-

чительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
2. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание И. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, Л. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый ’’принцип площадей” (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция

д(г) = г-1 +

однолистна в А := {г 6 С : г < 1} и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей

XX ы2 < !•
1
Два года спустя Бибербах [34] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса 5', образуемого однолистными в Д голоморфными функциями /(г) = г + 53^=2 °п *П ■ Она оказалась равной 1 /4, а функции
= я(1 + е^г) 2, гр € К,
(1)

§7. Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией
Применим идеи принципа площадей для получения оценок модулей тейлоровских коэффициентов функций / 6 s(p т.е. функций из S, обладающих свойством р-кратной кругосимметричности:
f{e2ni/pz) = e2ni/pf(z),
где р - фиксированное натуральное число, большее единицы. Как известно [9], такие функции обладают тейлоровскими разложениями вида

f(z) = Z + ^2 аР"+izpu+1-и
1. Для фиксированных натуральных р и тг рассмотрим подкласс S(p)[n] класса S^ , для элементов / которого образ единичного круга Д при всех натуральных к < п при отображении

Fk{z) = Д rfvf Wz) = zk{ 1 + alZpk + a2z2pk + ...), V = e2^kp,
г
является /с-листной римановой поверхностью. Рассуждения, подобные приведенным в параграфе 5, позволяют заключить, что в этот класс входят все звездные функции из 5’(р). Как показано в Приложении 2, функция
dt, о

h = 1 + ^((1 + г3/2)4 - 1) • exp
является незвездной функцией из 5^3^[2].
Генератор Q(w) квадратичного дифференциала ш = (Q'(w)dw)2 возьмем в виде Q(w) = w~pt2. В этом случае
Q о Fn(z) = z-np/2{ 1 + (3lZpn + {32z2pn + (33z3pn + ...)
f(z) = 2 ■ exp