Модели взаимодействия полей квантовой электродинамики с сингулярными потенциалами

• Автор: Фиалковский, Игнат Витальевич
• Шифр специальности: 01.04.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 111 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Скалярное поле
1.1 Постановка задачи
1.2 Случай одной плоскости
1.3 Случай двух плоскостей
1.4 Цилиндрическая геометрия
Глава II. Фермионный дефект
II. 1 Постановка задачи
11.2 Вычисление пропагатора
11.3 Вычисление среднего поля
11.4 Поля простейших дефектов
II. 5 Выводы
Глава III. Цилиндрический дефект в рамках фотодинамики
III.1 Постановка задачи
111.2 Случай плоской геометрии
111.3 Случай плоской геометрии
111.4 Процедура перенормировки
111.5 Выводы
Приложения
Список литературы

Введение
История вопроса
Более 50 лет прошло с опубликования работы Казимира [1], в которой он заложил целое направление в современной теоретической и экспериментальной науке, дав простое, но глубокое объяснение запаздывающим силам Ван дер Ваальса, как проявлению вакуумной энергии квантового поля. Долгое время эта работа была мало известна. Однако начиная с 70-х годов данная тематика привлекал всеобщий интерес — новые высокоточные экспериментальные возможности позволили провести сначала качественный, а затем и количественный анализ предсказаний Казимира.
Эффект Казимира в его простейшем проявлении — это взаимодействие двух незаряженных, проводящих, плоскопараллельных пластин из-за изменения вакуумных флуктуаций электромагнитного (ЭМ) поля. Это исключительно квантовый эффект — подобной силы нет в классической электродинамике (ЭД). В идеализированном случае при нулевой температуре между пластинами нет реальных фотоном и взаимодействие может вызывать лишь основное состояние ЭМ поля — вакуум. Однако предсказываемая (и наблюдаемая) сила проявляется на макроскопическом уровне, как взаимодействие макроскопических объектов.
Корни этого явления лежат в самом сердце квантовой теории — в предложенном Планком в 1911 году кванте энергии [2]. На языке квантовой механики необходимо рассматривать гармонический осциллятор с уровнями энергии Еп = К0(п + 1/2), где п = 0,1
играет ключевую роль. С точки зрения канонического квантования, энергия основного состояния связана с произволом упорядочения операторов при переходе от классической функции Гамильтона к квантовому гамильтонову оператору. Важно отметить, что Ео принципиально не наблюдаемая величина в рамках самой квантовой системы.
В квантовой теории поля (КТП), приписывая энергию основного состояния каждой моде поля, мы сразу сталкиваемся с проблемой ультрафиолетовых (УФ) расходимостей. Необходимо написать
где индекс Ь нумерует квантовые числа полевых мод (например, поляризация и волновой вектор к для ЭМ поля). Сумма (1), конечно, расходится. Казимир был первым, кому удалось выделить из бесконечной энергии ЭМ поля, сосредоточенного между двумя нейтральными плоскостями, конечную энергию их взаимодействия [1]
здесь а — расстояние между пластинами, 5 — площадь пластин, 5 а2,
с — скорость света вакууме. Для этого Казимир вычел из бесконечной энергии основного состояния ЭМ поля между пластинами вклад бесконечной энергии поля, квантованного в пустом пространстве Минковско-го. Оба слагаемых были предварительно регуляризованы, а после вычитания регуляризация была снята, оставив конечный результат.
Отметим, что в стандартных учебниках по квантовой теории поля [3]-[4], отбрасывание энергии основного состояния в свободном пространстве Минковского обосновывается тем, что энергия в общем случае определена с точностью до аддитивной константы. Таким образом, все физически наблюдаемые энергии отсчитываются от этого бесконечного значения энергии вакуумного состояния и эффективно вакуумная энергия полагается равной нулю. Математически это осуществляется выбором так называемого “нормального” упорядочивания операторов поля, при котором во всех операторах физически наблюдаемых величин все операторы рождения поля ставятся слева от всех операторов уничтожения, как если бы они коммутировали.
Однако применение такой процедуры к системам с внешними полями или граничными условиями будет некорректно. Это связано с тем, что, например, для системы двух плоскостей существует бесконечный набор различных вакуумных состояний “нумеруемый” значением расстояния

фермионным полем рассматривалась в [59].
Результаты этой опубликованы в [94]-[96].
1 Постановка задачи
Рассмотрим КЭД с однородным дефектом, сосредоточенном на бесконечной плоскости жз = 0, и инвариантным относительно отражения координат. Будем рассматривать взаимодействие полей Дирака с указанным дефектом, описываемое следующим дополнительным слагаемым в функционал действия
— линейная комбинация 11 матриц Дирака, инвариантных относительно отражения координат Q = А + qß7м + Тциа(1и aßU — (77" — ryv'yfJ')/2i, и где использованы сокращенные обозначения для 4-вектора ж: ж — {xq,x1,x2,xz) = (ж, Жз).
Подобные обозначения будут использованы и в дальнейшем. Из соображений калибровочной инвариантности необходимо положить /3 = l'z = О 2) С этими ограничениями функционал (II. 1) представляет собой наиболее общую форму действия дефекта, не содержащую параметров отрицательной размерности, и инвариантную по отношению к отражению координат и калибровочным преобразованиям. Таким образом, согласно обычным критериям теории перенормировок, модель определенная суммой обычного действия КЭД и действия дефекта (II.1) перенормируема [68]. Свойство перенормируемости сохраняется и для V — 0, в силу того,
2Мы рассматриваем калибровочные преобразования вида А —> А + дф, не изменяющие асимптотическое поведение поля Аи(х) при больших х. Их этого следует, что lim ф(х) = фо, где фа
Жг—»±00
константа, одинаковая для всех г = 0,1,2,3. Таким образом 5((Д) калибровочно инвариантно.
Sdefb/J, Ф, А; Л, q, I) = Бд(ф, ф) + Si(A),
(ПТ)