Исследование некоторых физических свойств магнитных и металлических фрактальных структур

• Автор: Богданова, Софья Борисовна
• Шифр специальности: 01.04.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
ГЛАВА 1. Обобщение квазиклассического кинетического уравнения на
случай фрактального объекта
1.1. «Обычное» квазиклассическое кинетическое уравнение (ККУ)
для функции распределения Бозе и Ферми - частиц
1.2. Некоторые частные случаи уравнения и законы
сохранения
1.3. Процессы рассеяния и их характеристики
1.4. Фрактальные объекты и их основные геометрические
свойства
1.5. Дробное дифференцирование и интегральное представление
дробной производной
1.6. Метрика и мера фрактального объекта
1.7. Обобщенное кинетическое уравнение для металлического
фрактала
1.8. Проводимость фрактального образца
ГЛАВА 2. Теория магнитной восприимчивости магнитного фрактала
2.1. Общая теория магнитной восприимчивости
2.2. Магнитная восприимчивость обычного магнетика
2.3. Продольная восприимчивость магнитного фрактала
2.4. Численное моделирование продольной магнитной восприимчивости фрактального образца для различных значений е ( 2.5. Сравнение с «обычным» магнетиком
ГЛАВА 3. Теория теплопроводности фрактального топологически
одномерного объекта
3.1. Классическая теория теплопроводности и закон Фурье
3.2. Обобщение закона Фурье на фрактальный объект
3.3. Численное моделирование зависимости температуры от степени фрактальности физической структуры и сравнение с обычным
образцом
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ.
В последнее время широкое распространение получили исследования, связанные с изучением свойств фрактальных объектов, а стремительный прорыв в этой области начался, по - видимому, с обзора [1], где впервые были сформулированы основные принципы и идеи этого нового научного направления. Подавляющее большинство результатов, описанных в этом обзоре, было получено благодаря методам численного моделирования или эксперименту [2-8].
О зависимости физических свойств фракталов от их фрактальной размерности существует масса сведений [3,8,9]. Развитие науки о фракталах позволило понять множество сложных физических явлений природы, ранее не поддававшихся математическому описанию. Отметим вкратце только некоторые основные, в число которых входят следующие: явление турбулентности, рост трещин при механических нагрузках, образование кластеров, идеи масштабной теории (скейлинга), широко применяемой при изучении магнитных фазовых переходов, а также при описании кинетики роста и динамики полимолекулярных образований.
В [10] было показано, что реальные цепи в полимерах имеют .такие же свойства, что и случайные блуждания без самопересечений (представляющие собой фрактал).
В турбулентности теория фракталов связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова, когда скорость турбулентного потока, являющаяся функцией пространственных переменных и времени, представляет собой фрактал, подобный броуновской кривой [11,12].
Флуктуации температуры, плотности и т.п., как функции пространственных координат, также могут быть отнесены к числу фракталов [8].
В формальной теории динамических систем были обнаружены странные аттракторы, представляющие собой решения систем дифференциальных уравнений, не заполняющих никакой области, а образующих сложную «дырявую» структуру, которая представляет собой фрактал. Фрактальная

Составив разность
/и' ~/и = ц[(1ецУ - l)
и разделив ее на е, в пределе е -» 0 получаем следующее ренорм - групповое уравнение
— = /Л im (/-^е ~1 = /I In /I. ds Е
Его решение элементарное и в итоге найдем
2е = ■■ = lnln и + const.
J/Лп//

(1-53)
где ju0 - некоторая константа.
С учетом размерности это дает нам окончательное выражение для меры
М = е—- (1-54)
Для всех перечисленных выше топологически одномерных кривых параметр е может меняться только в пределах от нуля до двух. Поэтому дальнейшее описание физических свойств одномерных материальных фрактальных объектов мы будем описывать с помощью размерности
dr =1 + £, (1.55)
где, как уже отмечалось,
0<£<2. (1.56)
При этом возникает вполне закономерный вопрос о вычислении константы С, фигурирующей в окончательном ответе для меры (1.54). Ответить на него

возможно, если чисто гипотетически воспользоваться соотношением — = г ,

где I, - длина фрактала, /- его сглаженная длина, а г- масштаб «дробления». Подобный чисто феноменологический подход позволяет нам вычислять С в каждом конкретном случае и для любого типа топологически одномерного фрактального объекта. Подробно этот вопрос освещен в главе 3 настоящей диссертации, и проиллюстрирован в виде таблицы.