Вычисление эффективных диэлектрических и проводящих характеристик случайно-неоднородных текстурированных сред

• Автор: Лавров, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 167 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Список сокращений
ВВЕДЕНИЕ
1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ (обзор). СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ
1.1. Обзор литературы и краткое описание некоторых теорий
1.1.1. Краткий обзор теоретических исследований диэлектрических и проводящих свойств неоднородных материалов
1.1.2. Теория Бруггемана экстраполяции диэлектрической проницаемости неоднородной среды для произвольных концентраций компонентов
1.2. Приближение Максвелла-Гарнетта для исследования эффективных диэлектрических свойств неоднородной среды
1.2.1. Классическое приближение Максвелла-Г арнетта (МГ)
1.2.2. Новейшие исследования приближения МГ и его обобщение с учетом конечности размеров включений и многократного рассеяния. Применение приближения МГ к изучению оптических свойств-нанокомпозитов.
1.3. Обобщенный подход эффективной среды Д. Страуда. Метод самосогласованного решения
1.3.1. Постановка задачи и вывод интегрального уравнения
1.3.2. Получение решения задачи в приближении эффективной среды для материала, состоящего из эллипсоидальных кристаллитов
1.4. Элементы теории представлений группы БО(3)
1.4.1. Вращения, их интерпретация как преобразований пространства и как преобразований базиса. Элементарные сведения из линейной алгебры
1.4.2. Способы описания вращений
1.4.3. Операторы бесконечно малых поворотов
1.4.4. Инвариантное интегрирование по группе вращений
1.4.5. Понятие представления группы. Неприводимые представления (НПГ)
1.4.6. Прямая сумма представлений. Разложение унитарного представления в прямую сумму неприводимых представлений
1.4.7. Неприводимые представления группы 80(3). Ортогональность матричных элементов неприводимых представлений

1.4.8. Разложение представлений группы 80(3) на неприводимые
1.4.9. Основные сферические функции (ОСФ) 1-то порядка как канонический базис НПГ 80(3) веса 1
1.4.10. Матричные элементы НПГ 80(3). Обобщенные сферические функции (ОбСФ)
1.4.11. Преобразование ОСФ и компонент тензоров 1 -го и 2-го рангов при вращениях системы координат
1.4.12. Разложение функций на группе по матричным элементам НПГ
1.5. Некоторые специальные виды координат и распределений
1.5.1. Координаты Бельтрами точки единичной сферы и их связь со сферическими координатами
1.5.2. Модели слабо неравномерных распределений на сфере
1.5.3. Нормальные распределения на группе БО(3)
1.5.4. Некоторые интегралы и их приближения
2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ
2.1. Базовая задача: изотропная матрица и изотропные эллипсоидальные включения одного вида. Вывод общего решения
2.1.1. Постановка задачи. Вывод основного уравнения
2.1.2. Вывод общего решения задачи для случая-однотипных кристаллитов
2.1.3. Вычисление компонент тензора ЭДЭП в лабораторной системе координат
2.2. Базовая задача: решение для частных случаев формы включений и распределения их ориентаций
2.2.1. Вид решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях
2.2.2. Сфероидальные кристаллиты
2.2.3. Частные случаи формы сфероидальных кристаллитов
2.2.4. Кристаллиты в форме эллипсоидов общего вида - частные случаи распределения ориентаций
2.2.5. Результаты численных расчётов для конкретных видов композиционных материалов
2.3. Обобщение задачи на среду со случайной формой включений (в рамках эллипсоидальной)
2.3.1. Случай эллипсоидальных кристаллитов фиксированной формы, близкой к сферической
2.3.2. Форма эллипсоидальных кристаллитов является случайной величиной с малым отклонением от формы шара

2.4. Некоторые обобщения для случаев анизотропных включений, нескольких видов кристаллитов и сложных текстур
2.4.1. Случай анизотропных эллипсоидальных кристаллитов
2.4.2. Обобщение задачи на случай нескольких видов кристаллитов и сложных текстур
Выводы по главе 2
3. ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИ1СРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ
3.1. Задача 1: Одноосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и вывод системы уравнений для компонент тензора эффективной проводимости (ТЭП) в общем случае
3.1.1. Постановка задачи и метод решения
3.1.2. Сведение задачи к системе двух трансцендентных уравнений для ненулевых компонент ТЭП
3.1.3. Решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях
3.2. Задача 1: Аналитическое решение задачи в некоторых специальных случаях
3.2.1. Метод решения задачи в случае малых компонент тензора а0'((т - <те)
3.2.2. Случай слабо анизотропных кристаллитов
3.2.3. Распределение ориентаций кристаллитов имеет малый разброс
3.2.4. Случай слабой макроскопической анизотропии среды
3.2.5. Компоненты ТЭП в лабораторной системе координат
3.2.6. Примеры численного моделирования для конкретных видов поликристаллических сред
3.3. Задача 2: Двуосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и аналитическое решение в двух специальных случаях
3.3.1. Постановка задачи и метод решения
3.3.2. Вычисление компонент тензора проводимости кристаллита в системе текстуры и вывод некоторых вспомогательных соотношений
3.3.3. Аналитическое решение в случае слабо анизотропных кристалитов
3.3.4. Вычисление ТЭП при отсутствии разброса в ориентациях осей С, кристаллитов
3.3.5. Решение задачи в случае малого разброса в ориентациях осей £ при условии, что |а2 -1| «1
Выводы по главе 3
ВЫВОДЫ
Литература

В данной работе будет использоваться система углов Эйлера, соответствующая последовательностям поворотов (4) и (8).
Заметим, что при значениях угловых параметров, выходящих за пределы указанных промежутков, все предыдущие формулы остаются верными. Указанные промежутки просто ограничивают область в пространстве параметров, которая взаимно-однозначно отображается на множество трехмерных вращений, за исключением, может быть, граничных точек. Например, вращение £(-ф,-0,-|/) соответствует реальному реальному физическому вращению, обратному к £(Ч|/,0,(р), т.е.
£~1(Ч'Дф) = 5(-ф,-Э,-'1'). (П)
С другой стороны, также верно и соотношение [18]

так как, если в (7) подставить данные значения, то получится транспонированная к (7) матрица, а в силу ее ортогональности, обратная к ней.
С группой 50(3) тесно связана группа 57/(2) унитарных унимодулярных матриц 2-го порядка [9, 14, 18, 77], причем это соответствие двузначно: каждому повороту в трехмерном пространстве соответствуют две матрицы из 57/(2). Элементы этих матриц называются параметрами Кэйли-Клейна и также используются для описания поворотов [18, 48].
1'.4.3: Операторы бесконечно малых поворотов
Если величины углов аьси2 последовательно совершаемых поворотов малы, то при вычислении параметров результирующего поворота можно пренебречь нелинейными членами, и тогда при любом из способов векторного представления поворотов (1.4.2.1), (1.4.2.2), (1.4.2.3) малые повороты складываются, как обычные векторы, т.е., обозначая <1ах, (1а2 складываемые малые повороты, а (1а = <10^ + (ки2 = с1«2 + С1«!. (1)
Пусть /(£■) - некоторая функция на группе вращений; g0 - ё(а1^2^аз) ~ некоторый элемент группы; а,, / = 1,2,3 - набор параметров, описывающих вращения. Пусть в результате некоторого малого поворота gг параметры «заполучат приращения Аа;, / = 1,2,3, т.е.
gz g(a°1ala9) = g(a° + Да,, а + Да2, а3° + Да3), ■ (2)
тогда значение функции / на элементе (2) с точностью до линейных относительно Да, членов включительно будет равно