Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа

• Автор: Агафонцев, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Бифуркации и устойчивость солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей
1.1. Основные уравнения
1.2. Разложение гамильтониана и матричные элементы
1.3. Расчет констант нелинейного взаимодействия
1.4. Солитонные решения
1.5. Устойчивость солитонных решений
Глава 2. Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины
2.1. Расчет констант нелинейного взаимодействия и вывод обобщенного НУШ
2.2. Исследование устойчивости волн Стокса
2.3. Солитонные решения и их устойчивость
Глава 3. Коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой
3.1. Аналитические результаты
3.2. Численное моделирование коллапса солитонов
Заключение
Приложение А. Расчет константы шестиволнового взаимодействия (без учета взаимодействия с нулевой гармоникой)
Приложение Б. Расчет константы шестиволнового взаимодействия

(с учетом взаимодействия с нулевой гармоникой)
Литература

Введение
Солитоны были впервые обнаружены на поверхности жидкостей в позапрошлом веке и долгое время представляли интерес лишь для небольших групп специалистов в области гидродинамики и математики. В конце 50-х годов XX века концепция солитонов проникает в физику плазмы, а с начала 70-х, когда была продемонстрирована структурная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [1] и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [2], а также было предложено использовать солитоны в качестве битов информации в оптоволоконных коммуникациях [3], солитоны становятся весьма популярным объектом исследования.
Солитоны, согласно общепринятому определению, представляют собой нелинейные локализованные в пространстве объекты, движущиеся с постоянной скоростью. Скорость солитона является главным параметром солитона, часто определяющим его амплитуду и ширину. Подобными являются солитоны на поверхности жидкостей, а также солитоны, впервые открытые в плазме - ионноакустические и магнитозвуковые. Однако, впоследствии были обнаружены и более сложные солитонные решения в виде осциллирующих солитонов, внутри которых происходят осцилляции с определенной частотой и длиной волны. Подобные солитонные решения часто возникают в задачах о распространении квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, включая также задачи о самофокусировке. „Внутренняя“ длина волны осциллирующих солитонов, как правило, много меньше их характерного размера, поэтому такие солитоны часто называют „солитонами огибающих“.
Скорость „простого“ солитона может принимать значения внутри некоторого „разрешенного“ интервала, границы которого определяются в общем случае из условия касания плоскости и — (к V) и дисперсионного соотношения для линейных волн ш = ш(к); пересечение этих поверхностей означает присут-
Согласно [20]
(їх <
~~ %/3
гх2<1ху
1/2
Таким образом, гамильтониан ограничен снизу если
7 N Л/2
21ч2 + Щ~ ’

=у1г2|+ЗЛ,-2-М-
При этом, нижняя граница гамильтониана дается выражением:

/’ 1Ж . іУ2Л 2 ЛГ2 ~ зЩ)
(1.64)
(1.65)
(1.66)
Оказывается, что численное значение Я3 = 1.3521 практически совпадает с критическим значением Ысг = 1.3526, соответствующем солитонам с /х = 0. Таким образом, солитоны из нижнего семейства, удовлетворяющие критерию (1.65), являются устойчивыми не только относительно малых, но также и относительно конечных возмущений. Что же касается солитонов из верхнего семейства с ц > 0, то они неустойчивы относительно конечных возмущений.