Геометрические методы исследования периодических траекторий динамических систем

• Автор: Трещёв, Дмитрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1987
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Г Существование периодических решений бильярда.
Биркгофа.
§1. Введение. Теорема Биркгофа
§2. Вариационный принцип для траекторий бильярда
§3. Структура области £) и £-условия
§4. Доказательство предложения 1.2
§5. Существование периодических траекторий
§6. Некоторые обобщения

II Устойчивость периодических траекторий бильярда.
§1. Введение
§2. Матрицы Гессе и Пуанкаре
§3. Формулировка теоремы 2
§4. Доказательство теоремы
§5. Двузвенные траектории бильярда
§6. Бильярд внутри многоугольника и рассеивающие бильярды
§7. Периодические траектории бильярда и замкнутые геодезические на римановых многообразиях
III Периодические траектории и неинтегрируемость.
§1. Введение. Интегрируемые бильярды
§2. Пространство аналитических бильярдов. Формулировка теоремы о неинтегрируемости
§3. Лемма о плотности
§4. Лемма об открытости
§5. Множество неинтегрируемых бильярдов
§6. Лемма о неинтегрируемости

17 0 связи индекса Морса замкнутой геодезической с ее устойчивостью.
§Г. Постановка задачи
§2. Основная конструкция
§3. Новые координаты
§4. Отображения и их свойства
§5. Невырожденность по Пуанкаре и по Морсу
§6. Теорема 4 и ее следствия
§7. Доказательство леммы 4.1
§8. Равносильность определений невырожденности по Пуанкаре и по Морсу
§9. Доказательство теоремы 4
Литература

ВВЩЕНИЕ.
После обнаружения эффекта неинтегрируемости динамических систем [4 ] (см. также [2 ])и осознания его типичности, особое значение для аналитической механики приобрели вопросы качественного анализа. Одну из основных ролей при этом стало играть исследование периодических решений.
Проблемы существования периодических траекторий, исследования их динамических и геометрических свойств продолжают интенсивно обсуждаться в настоящее время. Обзор результатов по классической задаче о замкнутых геодезических на компактном римано-вом многообразии содержится в книге В.Клингенберга [ 3 ] »(см. также статью Д.В.Аносова [4 ]); недавние результаты по исследованию существования периодических траекторий в областях возможности движения с краем и у систем с гироскопическими силами можно найти в работах С.П.Новикова [5 ] и В.В.Козлова [6]. Главную роль в этом направлении играют геометрические методы, берущие начало с работ Пуанкаре, Биркгофа, Морса и других авторов, Возможность применения этих методов обуславливается наличием известных вариационных принципов.
Продолжают оставаться актуальными вопросы интегрируемости конкретных динамических систем, причем хорошо известно, что свойство неинтегрируемости означает, как правило, не только невозможность "проинтегрировать" систему.(используя, скажем, теорему Лиувилля об инволютивных интегралах); существенно большее значение с точки зрения качественного анализа играют сопутствующие динамические эффекты: появление большого количества невырожденных периодических решений, расщепление сепаратрис и т.д.
Одной из популярных классических динамических систем являет-

производные. Как известно, такая задача имеет всегда единственное решение (см.[21]) . В то же время она легко сводится к
решению линейной системы с определителем (3.5) , значит определители (3.5) и (ЗА) не равны нулю. Лемма 3.2 доказана.
§ 4. Лемма об открытости.
Лемма 3.3. Множество кривых, лежащих в ^ таких,
что каждая из них имеет невырожденную периодическую траекторию бильярда типа (П,К) , открыто в Ад а
Доказательство леммы 3.3 состоит
а) в проверке справедливости следующего утверждения:
Утверждение 3.1 Для любой кривой 1 - §03) , описанной
в лемме 3, существует (£>0 такое, что любая гладкая кривая, отличающаяся вместе со своими двумя производными в любой точке ]У б [0) 2л] от нее не более, чем на £ , обладает невырожденной периодической траекторией типа (п)к)
б) в проверке того факта, что такое множество кривых содержит некоторую окрестность исходной кривой в ид а
Доказательство утверждения 3.1 Любой кривой из а
соответствует функция, сопоставляющая любым двум ее точкам 1^,1^ величину |Я^,25р( у равную расстоянию между ними в евклидовой метрике плоскости.
Пусть кривая Ч-~ ■} (^ лежит в ]^ ^ и выполняются
условия
(!?)-[ (V-)) <£ , те г?е[о,21г]