Сепаратрисное отображение в задаче Мезера

• Автор: Пифтанкин, Геннадий Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Обобщенный двойной маятник с вибрирующей точкой подвеса

1.1. Гамильтонова система

1.2. Интеграл Пуанкаре-Мельникова геодезического потока

1.3. Интеграл Пуанкаре-Мельникова потенциального возмущения

Глава 2. Сепаратрисное отображение

2.1. Сепаратрисное отображение Шильникова

2.2. Сепаратрисное отображение в задаче Мезера

Глава 3. Антиинтегрируемый предел

3.1. Хаотические траектории Биркгофа-Смейла-Шильникова

3.2. Рост энергии в задаче Мезера
Заключение
Приложение А. Многомерное сепаратрисное отображение
А.1. Определения и формулы
А.2. Невозмущенная система
А.З. Возмущенная система
Приложение Б. Доказательство леммы
Литература

Введение
Как известно, в классической механике существует лишь немного задач, в которых удается описать динамику системы на всем фазовом пространстве. Поэтому одной из основных задач является построение специальных решений, динамику которых можно проанализировать на достаточно большом интервале времени, и выявление с помощью них интересных динамических свойств систем. Одним из таких явлений является диффузия Арнольда в системах близких к интегрируемым. Это явление было открыто В.И.Арнольдом в его знаменитой статье [1], где он построил пример гамильтоновой системы близкой к интегрируемой, имеющей траектории, у которых переменные действия изменяются на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении исходной интегрируемой системы. Таким образом, если па небольших интервалах времени эволюцию возмущенной системы можно описывать уравнениями интегрируемой задачи, то на больших интервалах времени возможно качественное изменение движения. Однако до сих пор остается открытым вопрос о типичности этого явления в системах близких к интегрируемым. Дж.Мезер в качестве модельного примера к проблеме о диффузии Арнольда предложил рассмотреть задачу об эволюции энергии при возмущении геодезического потока (движения по инерции) на двумерном торе неавтономным потенциалом. Он показал, что в типичной ситуации существуют траектории с неограниченым ростом энергии[35]. Полные доказательства утверждения Мезера были получены в работах С.В.Болотина и Д.В.Трещева[20], Дельшамса, де ла Яве и Сеары[22] и В.Ю.Калошина[39]. Основным результатом диссертационной работы является построение траекторий задачи Мезера, на которых энергия неограничено растет в среднем как линейная функция времени, что является оптимальной оценкой максимальной скорости роста энергии на траекториях. Аналогичные результаты имеются в препринте де
ла Яве [25] и в недавней работе В.Г.Гельфрейха и Д.В.Тураева [30].
Ниже во введении мы более подробно остановимся на основных аспектах, затрагиваемых в данной работе, дав соответствующий обзор литературы.
Диффузия Арнольда
В [1] предложен пример гамильтоновой системы вида
х = дН/ду, у — —дП/дх, Н = И0(у) + е#1 (ж, ?/,£,£), (1)
х ЕТП = Ш1/!!1, У £ Ъ € Т, е Е (—£о, £о)
с п = 2 и выпуклым по действиям у невозмущенным гамильтонианом Щ, в которой переменные у могут измениться вдоль траектории на величину порядка единицы. Позднее это явление получило название диффузии Арнольда. В [1] был также предложен механизм, порождающий такую диффузию. В возмущенной задаче должен существовать набор гиперболических торов (переходная цепочка). Соответствующая цепочка устойчивых и неустойчивых асимптотических поверхностей должна быть соединена гетероклиническими траекториями. Тогда на траектории, следующей этой цепочке, имеет место дрейф переменных действие.
Основной вопрос, связанный с диффузией Арнольда в системах (1), звучит так. Является ли диффузия типичным свойством? При этом важно, в каком классе гладкости лежит Н. Обычно наиболее интересным считается вещественно-аналитический случай. Он же является технически наиболее сложным.
Согласно теории Нехорошева [7], в вещественно-аналитических системах, удовлетворяющих довольно слабым условиям (так называемым, условиям крутизны), средняя скорость дрейфа действий вдоль траектории оценивается сверху экспоненциально малой величиной е~ае Р с положительными а, (5. Экспоненциально малые эффекты представляют основную трудность для анали-
2.2. Сепаратрисное отображение в задаче Мезера
В этой главе мы получим формулы для сепаратрисного отображения задачи Мезера. В параграфе 3.2 мы воспользуемся этими формулами для доказательства теоремы 1.
2.2.1. Определение
Рассмотрим гамильтонову систему (Л4,Г2, К) с двумя с половиной степенями свободы, где Л4 — гладкое симплектическое многообразие, сИт.Л4 = 4, О — симплектическая структура, гамильтониан К е СГ(Л4 х Т), г > 10 имеет вид:
Н(2,1) = Н0(2) + Н1(2,Ь), ЯеМ, £€Т = М/2. (2.7)
Пусть О11 : Л4 —> Л4 — однопараметрическая группа диффеоморфизмов фазового пространства. Предположим, что
П0од = е2П0, НхоОНг, (д»)*П = е/П. (2.8)
Ниже предполагаем, что {Ко = 1} ф 0.
Определение 2.6 Функцию Т : Л4 —► К будем называть д'1-однородной степени к, если
То д» = екТ.
Таким образом, функции Ко и К являются -однородными степени 2 и 0, соответственно. В задаче Мезера функции Ко и К — кинетическая и потенциальная энергии, соответственно, а группа д — гомотетия по импульсам:
{я,р) = (ЯТР), г = (у,р).
Автономную гамильтонову систему с гамильтонианом Ко будем называть невозмущенной, а исходную — возмущенной.