Биквадратичные функциональные модели параметризации эмпирических данных

• Автор: Перекрест, Владимир Терентьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1988
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 306 с. : ил.

1, Введение •••••••• ••••.••••••••••••••.«.•••
2. Функциональные модели многомерного шкалирования
2.1. Топологически инвариантное шкалирование
2.2. Метрические модели топологически инвариантного
. . шкалирования
2.3. Инвариантные преобразования для 2Гк-модалей .... 2.4* Функциональные модели анализа предпочтений
3* Основные свойства ^-отображений
3.1. Локальные необходимые условия -шкалирования
3.2. Максимальность тривиальных решений с из темы урав-. . нений шкалирования
3*3* Ограниченность 2К-отображений
3.4. Нелокальное.необходимое.условие. 2к~шкадирова
4. Компактные сужения .для 2к*гмоделеЙ
4.1. 2^-представления
4.2. Классы -в моделях 2к-накадирования,
■ 4^3. Существование 2к~представлений
5. Еиквадратичные. представления. в. Ф. -моделях. анализа.... предпочтений
5*1* <^*-критерии в моделях анализа.предпочтений
5*2. Существование ^отображений
5 .3. Локальные оптимизационные. задачи. в. ф т-моделях,
. . анализа предпочтений
5.4. Локальные оптимизационные.задачи.в,симметричных
. , ^.-моделях. »•••
5.5* Характеристическое уравнение для локальных опти-

мизационных задач
5.6. Ф*-отображения. для однородных задач анализа предпочтений
6. Параметрические. представления в. задачах, функционального.
шкалирования •••«...••••••••••••• ••••••••••
6.1. Параметрические представления функции. близости.,
6.2. Системы параметров для 2К-моделей
6.3. Структурная устойчивость 2^-моделей
6.4. Параметрические,алгоритмы,функционального, шкалиро-
. вания
6.5. Построение начального приближения в итеративных
схемах функционального шкалирования, методами квази-динамического программирования
7. Исследование структуры народного хозяйства, кру пного, города методами многомерного шкалирования ••••••••••••.•••
7.1. Системы индикаторов.структуры народного хозяйства,,
. . крупного города
7.2. Исследование систем индикаторов.функциональными,
. . методами анализа данных
7.3. СтруктурщИ^нкциональная-группировка городов с помощью двумерной, модели , структуры, народного ХО-, зяйства
Заключение
Литература

I. ВВЕДЕНИЕ
Решение большого круга прикладных задач из различных областей психологии* социологии, экономики, медицины, экологии, геологии и др. связано с обработкой больших массивов эмпирической (статистической и пр.) информации о сложных объектах или системах, в которых исходные данные представлены бинарным отношением близости (сходства, различия, превосходства) или предпочтения. Для анализа подобных экспериментальных данных в настоящее время разработано большое количество математических методов и подходов: классификации и распознавания образов [4,8,26,29,31,34,38,50,61,107,III,
112], анализа динамических сгущений [25], факторного анализа [56,
113] и многомерного шкалирования [30,99,105,124,132,136,139,142, 146,152,156]. При этом шогомерное шкалирование трактуется как подход, связанный с параметризацией исходной информации об исследуемых объектах, т.е* с представлением этих объектов в виде точек некоторого координатного пространства*
Значительную группу методов параметризации экспериментальных данных образуют методы построения координатных представлений, связанные с оптимизацией следующих двух групп критериев качества (метрическое многомерное шкалирование [30,99,101,102,1341). Пусть Xе 7„I *’•- совокупность исследуемых объектов, *у - величина близости для объектов I и | , В качестве модельного пространства координатного представления обычно выбирают евклидово пространство й некоторой размерности К (в общем случае - некоторое к-мерное замкнутое многообразие). Пусть - искомый образ
с -го объекта, а - величина близости для точек
модельного пространства Я* . Тогда задача параметризации эмпирической информации, представленной матрицей {^<у$ (шкалирование

объединения непересекавдихся элементов [55, с.35б}. Борелевскими множествами являются также все замкнутые множества, в том числе -все замкнутые шары. Если множество А - борелевское, то его мера определяется как значение интеграла /и (Ха) от Функции Ха »
В дальнейшем под генеральной совокупностью исследуемых объекЪ и (и, соответственно функция близости и вероятностная мера
В прикладных исследованиях в общем случае под мерой близости понимается величина, определенная на паре объектов и измерявдая, насколько эти два объекта похожи {30, с.13]. Меры близости подразделяются на меры различия и меры сходства [30, с*13, 47-66]. Введенная выше функция близости * в этом случае задает меру различия. Эту функцию будем называть также функцией различия в X« Определенный на симметричный функционал Ъ будем называть функцией сходства в X , если:
которая является характеристической функцией множества А :
£ * если ОС&А у , О » если А „
Пространство
тов будет пониматься тройка (пространство)
в X.
эс, ч, из неравенства
следует неравенство