Обобщенный приведенный метод Ньютона

• Автор: Панферов, Семен Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

1 Угол между подпространствами одинаковой размерности
§1.1 Операторы проектирования
§1.2 Свойства угла между подпространствами одинаковой
размерности
§1.3 Оценка угла между подпространствами одинаковой
размерности
2 Приведенная целевая функция задачи с ограничениями типа равенства
§2.1 Дифференциальные свойства приведенной целевой
функции
§2.2 Вычисление градиента и гессиана приведенной целевой функции
§2.3 Оценки норм градиента и гессиана приведенной целевой функции
3 Обобщенный приведенный метод Ньютона
§3.1 Алгоритм обобщенного приведенного
метода Ньютона
§3.2 Доказательство сходимости алгоритма
§3.3 Оценки скорости сходимости
приведенных алгоритмов

Основные обозначения
• Ж” — арифметическое пространство векторов х — (xi хп) Є Жп.
• {х, у) = хіуі + ... + хпуп — скалярное произведение векторов X = (хі х„), у = (уі, ... ,Уп) є Ж".
• е = (ei е„) — ортонормированный базис в Ж":
I 0, 1 < г ф j
eii ej) — àij — < ^1, 1 ^i = j^n.
• Lin (/її hm) — линейная оболочка, порождённая векторами hi hm Є Жп.
• ||х|| = (хі + ... + Хп)1^2 — евклидова норма вектора х = (хь...,х„) Є Ж".
• А— (dij) — прямоугольная матрица.
• А(т х n) — матрица, состоящая из т строк и п столбцов.
• Pmin(^), Ртах.{А) — наименьшее и наибольшее сингулярные числа матрицы А.
• ||Л|| — спектральная норма матрицы А.
• А1 — матрица, транспонированная к матрице А.
• VF(x) или L'x(x, А) — градиент функции F(x) или L(x, X) по переменным х.
• V2F(x) или L"x(x, Л) — гессиан функции F(x) или L(x, X) по переменным X.

При применении в различных областях техники и экономики математических методов исследования операций зачастую возникает необходимость численного решения задач условной оптимизации. В настоящее время имеется и активно используется большое количество численных релаксационных методов локального поиска, позволяющих эффективно отыскивать локальный экстремум для широкого круга задач (см. работы Д. И. Батищева, Ф. П. Васильева, И. М. Гельфанда, Ю. Г. Данилина, Ю. Г. Евтушенко, А. А. Жиглявского, С. К. Завриева, В. Г. Карманова, Б. Т. Поляка, Б. Н. Пшеничного, Р. Г. Стронгина, А. Г. Сухарева, В. В. Фёдорова, Д. Б. Юдина, и их учеников; [9], [10], [19], [21], [23], [24], [28], [39], [41], [43], [44]).
Однако, следует отметить, что практическая эффективность методов решения задач безусловной оптимизации и, в частности, метода Ньютона, намного превосходит эффективность методов решения задач условной оптимизации. Поэтому подходы, позволяющие разрабатывать оптимизационные алгоритмы решения задач условной оптимизации, основанные на исключении ограничений в исходной задаче и последовательном использовании эффективных методов безусловной оптимизации, представляют большой практический интерес.
Целью диссертационной работы является разработка алгоритма, позволяющего применить алгоритмы метода Ньютона, разработанные для решения системы нелинейных уравнений и задачи безусловной оптимизации, в задаче условной оптимизации.

х £ кег А. Имеем:
|М-1||2-Г нТ ММ!) 1с-Ах
и*л ■ № |ы> ]
Ах = Ах |

< АА*с, с >
Од С, С >
(“)
= 1КЛ4')"11 - (ы -~10)" = (ьелил)-
Пусть д: У+У —» У непрерывно дифференцируемое отображение
на множестве
П(х°) = {х = (у, г) 6 У+2| ||у-у°||к < гь \г-г°\г ^ г2} (1.16)
где х° = (у0, 2°); у(а:0) = Оц.
Кроме того:
^ *о;
и,У
2)||у(у°, г)||у < к\г-г°\2 для всех 2 £ ВГ2(г°);

< ^(||у-у°||у+|к-2:0||2)для всех а: € £1(х°),
где 10, к, к~ константы, зависящие от области Г2(гс°) и отображения
У(я)-
Тогда для каждого г Е Вр(г°), где
Р - р(г2, к, к, к) = тш{г2, (4У2(1 + УД)-1}, (1-17)
в шаре Вг(у°), где
г = г(пЛЛ,У = тт|г1,51-(г^) ' | (1.18)