Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением

• Автор: Каменская, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 155 с. : ил.

® Глава 1. Необходимые и достаточные условия
существования периодических решений
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Фазовое пространство системы
1.2.1. Достаточные условия существования периодического решения с двумя точками переключения
1.2.2. Инвариантное множество фазового пространства системы (1.1), (1.2)
§ 1.3. Необходимые условия существования

периодических решений с переключениями
1.3.1. Необходимые условия существования периодических решений с двумя точками переключения
1.3.2. Необходимые условия существования периодических
'Г'
I, решений с двумя точками переключения для системы
• с симметричной петлей гистерезиса
1.3.3. Достаточные условия сведения системы (1.1), (1.2)
к системе (1.1), (1.23)
1.3.4. Необходимые условия существования периодических
• решений с 2д точками переключения
Заключение к главе
Глава 2. Орбитально устойчивые
периодические решения
§ 2.1. Асимптотически орбитально устойчивые периодические решения
2.1.1. Решения с двумя точками переключения
2.1.2. Решения с 2д точками переключения

§ 2.2. Исследование окрестности периодического решения
при помощи функции Ляпунова
2.2.1. Свойства окрестностей периодических решений,
не выходящих из зоны неоднозначности функции и(а)
2.2.2. Свойства окрестностей периодических решений, выходящих из зоны неоднозначности функции и(а)
Заключение к главе
Глава 3. Управление колебательными процессами
§ 3.1. Достаточные условия существования изолированных
периодических решений
§ 3.2. Особые множества в фазовом пространстве системы (1.1) (1.2). Изменение конфигурации периодических решений системы при изменении выходного значения реле
§ 3.3. Разбиение пространства
параметров управляющей функции
3.3.1. Сечения в пространстве выходных параметров управления
3.3.2. Сечения в пространстве коэффициентов вектора обратной связи
§ 3.4. Принципы выбора стабилизирующего управления
3.4.1. Выбор выходных параметров управления
3.4.2. Выбор коэффициентов вектора обратной связи
Заключение к главе
Заключение
Список литературы
Приложение
Приложение
В настоящее время растет интерес к исследованиям в области анализа и управления нелинейными колебательными системами. Такие задачи возникают при математическом моделировании различных управляемых процессов в механике, электротехнике, биологии, экологии, химии, медицине [1, 2, б, 33, 51, 52, 53, 54, 57, 60].
В данной работе в качестве математической модели рассматривается гс-мерпая система дифференциальных уравнений вида
х = Ах + Ь/(а) а = Ггд, (1)
где (-)г — знак транспонирования; матрица А, векторы Ь, Г — постоянные; х € Е" — вектор состояний системы; функционал /(а(£)), описывающий нелинейность типа двухпозициоппого реле с гистерезисом [48, 32] с пороговыми числами 1 и 1о {1 < Ь>) и выходами т, и т2 {т < Ш2), определен при £ > 0 на классе непрерывных функций следующим образом: во-первых, из неравенства <т(£) < 1о следует равенство /(сг) = гп, а из неравенства ст(£) > 1 следует равенство /(<т) = гпз, и, во-вторых, из неравенств 1 < а(I) < 1о (£1 < £ < £2) следует равенство ег(£1) = сг(£2), то есть в случае 1 < а(0) < /2 входу а(£) отвечает два допустимых выхода, а в противном случае — один допустимый выход [46].
В приложениях функционал /((т(£)) называют нелинейной характеристикой системы [1, 44]. Гистерезисную нелинейность можно трактовать как управление, зависящее от скалярного произведения постоянного вектора Г, определяющего обратную связь в системе, на вектор состояний системы х. В математических моделях систем управления нелинейности вида /(а) описывают реально существующее пространственное запаздывание управляющих механизмов (см., например, модель двухпозици-опного авторулевого — системы стабилизации курса судна — с запаздыванием [1]) и могут как способствовать процессу стабилизации, так и вызывать нежелательные колебательные процессы соответствующего
2.1.2. Решения с 2д точками переключения
Рассмотрим случай периодических, с 2д точками переключения, орби-тально асимптотически устойчивых решений системы (1.1), (1.2).
Теорема 2.2. Предположим, что матрица А — гурвицева, ГТЬ ф О, выполнено условие (1.5). Пусть существует р £ (0,1), такое, что для любого д £ N точки переключения каждого из асимптотически орби-тально устойчивых периодических, с количеством точек переключения не превосходящим 2д, решений системы (1-1), (1.2) удовлетворяют неравенствам вида ГТ(Ах3+Ьт{)/(\Г\-\Ах3+Ьп1г\) > /и, г = 1,2. Тогда система (1.1), (1.2) имеет конечное число таких решений.
Доказательство. Будем рассматривать решения с разным числом точек переключения отдельно. Зафиксируем некоторое д, имеющее целое положительное конечное значение. Будем считать, что периодических решений с 2д точками переключения — конечное число для любого д < д. Это можно сделать, так как уже доказана теорема 2.1. для периодических решений, имеющих две точки переключения, то есть при д = 1.
Предположим, что соответствующая система (1.39) при д = д имеет, по крайней мере, счетное число решений, удовлетворяющих исходной системе (1.1), (1.2). Исключим те наборы времен перехода, которые удовлетворяют системе (1.39) при некоторых д < д (см. замечание 1.5.), таких наборов конечное число по предположению. Также исключим те наборы времен перехода, которые описывают периодические решения отличающиеся только сдвигом по времени (см. замечание 1.6.), т.е сокращаем число наборов времен перехода в д раз.
Таким образом получаем, что система (1.1), (1.2) имеет счетное число периодических режимов с 2д точками переключения, которые описываются наборами времен перехода П(А;)! ..., 11 соответствующими
наборами точек переключения х]^к ..., х^к которые вычисляются по формулам (1.37) и (1.38), к = 1,2,... Каждое из периодических реше-