Численное решение задач механики сплошной среды, сводящихся к уравнениям типа Навье-Стокса

• Автор: Кобельков, Георгий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 172 c. : ил

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§1. Итерационные методы для решения задачи Стокса
и бигармонического уравнения
§2. Итерационные методы для решения задач
теории упругости
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
ГИДРОДИНАМИКИ
§1. Численные методы расчета уравнений Навье-Стокса . 82*
§2. Численные методы решения задачи конвекции
жидкости
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА

Значительная часть математических моделей, описывающих свойства сплошной среды, представляет собой краевые задачи для систем уравнений в частных производных С 3*2,53 1 с теми или иными условиями на границе области. При этом оказывается, что большая часть краевых задач не имеет сколь-нибудь простых решений, которые могли бы быть выписаны в явном виде даже в областях несложной формы. В этой ситуации в настоящее время наиболее часто используемым аппаратом исследования свойств решения, а также получения конкретных решений с некоторой точностью является нахождение приближенных решений этих задач при помощи численных методов с использованием ЭВМ. Однако, во многих случаях построение разностных схем для сложных краевых задач, а также решение получающихся систем алгебраических уравнений является нетривиальной задачей и требует тщательного математического обоснования хотя бы на простейших моделях.
Настоящая работа посвящена построению устойчивых разностных схем для уравнений теории упругости и гидродинамики и исследованию методов решения получающихся систем алгебраических уравнений.В силу того что в задачах линейной теории упругости, динамики вязкой несжимаемой жидкости, конвективных течениях линейная часть уравнений имеет один и тот же вид, для решения всех этих задач был применен единый подход. Его особенность состоит в том, что предлагаемые двухслойные методы для решения получающихся систем алгебраических уравнений, а также двухслойные разностные схемы для расчета нестационарных задач обладают

несимметрическим оператором перехода от слоя к слою. Этот гЬакт не позволил применить для исследования их сходимости традиционные
мости понадобилось развить новый аппарат, который использует энергетические оценки и позволяет оценить норму оператора перехода. В конечном итоге это дало возможность оценить скорость сходимости предлагаемых итерационных процессов, а также устойчивость некоторых разностных схем для расчета нестационарных задач. Следует отметить, что подобные итерационные процессы предлагались и ранее ^5 5,^0^ » однако оценки скорости сходимости и оптимизация итерационных параметров в исследованиях отсутствовали.
Глава I носит вспомогательный характер и содержит доказательство сеточного аналога неравенства
Оценка (1^ имеет место для любой р £ L. (Л.) > ортогональной
единице при условии, что граница области является кусочно-липши-цевой. В непрерывном случае оценка (i) получена в работах
В главе I в дискретном случае получен разностный аналог (Д ) для различных сеток. Относительно области предполагалось, что она является объединением конечного числа прямоугольников с соизмеримыми сторонами, параллельными осям координат. Доказаметоды
. Для исследования скорости сходиДиссертация состоит из введения и трех глав.
(1)
при различных предположениях об области.
- £0
= -Д^ (Е -т) и для I т Ц верна оценка | Т || - ^ ‘ь .
Получше оценку сверху для оптимального значения Положил г,±~±/ц , ^ = 1 , тогда о,5 и
Выбирая Л ^ из уравнения 1-&со>1 = 0 и 'ъ ± > о из уравнения = 1эсхг±/з. ~ ±Д , получим совокупность параметров , удовлетворяющих неравенствам
С 2.1.13) . Заметим, что все эти параметры в данном случае не зависят от I 1 , ^ .Поэтому % (р х т4, ^ ) <
также не зависит от [ ^ , [г . Отсюда следует, что для получения решения с точностью £ , необходимо произвести по
порядку 0 (<р> а* г'1) арифметических операций, где ф
количество арифметических операций, необходимых для нахождения

решения уравнения ~Л Е = ^ , С ТОЧНОСТЬЮ ^~Ъх/(± + (Ь1)
- методом. В работах [15,42. предложены методы решения уравнения Пуассона, которые требуют для нахождения решения с точностью ^ по порядку О (С С Ъл
арифметических действий. Так как - 0(±) » то общее число арифметических действий, необходимых для получения решения задачи (2.1.2) с точностью £ методом (2.1.3) , где
р -1 £
С = ~Д (Е "Т^) и Для обращения д применяется один из цитированных выше методов решения уравнения Пуассона, по порядку равно 0 ( £ 1 & I I I*. I ф г • £и. £ ) /