Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Ахмеда-Рао

• Автор: Коровкин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 93 с. : ил.

- 2 -Содержание
§1. Предварительные сведения
§2. Базисы Ахмеда-Рао
§3. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное
с прореживанием по частоте
§4. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное
с прореживанием по времени
§5. Обобщенное преобразование Ахмеда-Рао
§6. Примеры сжатия изображении на основе преобразования
Ахмеда-Рао
Список литературы

До 1970-х годов основным инструментом дискретного гармонического анализа являлось дискретное преобразование Фурье [2, 7, 18, 38]. В 1980-х годах стали больше уделять внимания другим ортогональным преобразованиям, таким как преобразование Уолша, Хаара, Виленкина—Крестенсона, дискретное косинусное и т.н. [1, 6, 8, 11, 35]. Для всех указанных преобразовании были разработаны быстрые алгоритмы.
Одним из источников быстрых ортогональных преобразовании является матричная факторизация — представление матрицы ортогонального преобразования в виде произведения слабозанолненных матриц. Эффективные расчётные формулы получаются путем использования индексной техники, когда при умножении разреженной матрицы на вектор убираются все операции с нулевыми элементами матриц. В последние годы был разработан новый подход к быстрым ортогональным преобразованиям. В работах [19, 20, 25, 20] результаты промежуточных вычислений интерпретируются как коэффициенты разложения по некоторым ортогональным базисам. В пространстве дискретных периодических сигналов при длине периода, равной степени двойки, построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов, имеющих блочную структуру. В каждом блоке сигналы различаются лишь сдвигом аргумента. Из блоков, принадлежащим разным базисам рекуррентной последовательности,
формируются обобщённые веивлетные базисы. Это значительно расширяет возможности цифровой обработки сигналов. В работе [27] с аналогичных позиций проанализировано дискретное преобразование Уолша, а в [21, 28] — дискретное преобразование Виленкина—Крес-тенеона.
В диссертационной работе рассматривается дискретное преобразование Ахмеда-Рао. В отличии от традиционной ситуации, когда для получения быстрого алгоритма разложения сигнала факторизуется известная матрица ортогонального преобразования, а базис-ные функции выражены явно, в монографии [1] реализован обратный подход. Дискретное преобразование Ахмеда-Рао задаётся в виде произведения разреженных матриц, а свойства базисных сигналов нужно вывести из свойств матриц, входящих в факторизацию.
Целью диссертационной работы является:
§1. Изучить структуру и фундаментальные свойства базисов Ахмеда-Рао.
§2. Построить быстрые алгоритмы декомпозиции и реконструкции сигналов и изображений по базисам Ахмеда-Рао.
§3. Разработать соответствующее программное обеспечение.
Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из шести параграфов, содержит 5 рисунков, одну таблицу и список литературы, состоящий из 46 наименований.

Формула (4.12) при п = в дает нам выражение для функции Ахмеда-Рао:
и>1г)и) = /іг)Ц;і) = ІС и'т)!' 5л'(т _ геу«0’)) = 0*г)Р> гсуДі)]-

5. На основе рекуррентной схемы пересчета базисов (4.8) при каждом г Є 1 : в можно стандартным образом построить обобщенный вейвлет-пакет [21, 20]. А именно, можно считать, что базис разбит на Д„ блоков; блоки помечены индексом I. Каждый такой блок содержит N„-1 элементов с индексами 2рА„ и (2р + 1)Д^. Согласно формулам (4.8) блок с индексом I базиса порождает два блока базиса /^ с индексами I и I + Д„, причем в каждом блоке находится ЛГ„ элементов с внутренним индексом рД„+і. Такое разбиение на блоки обладает замечательным свойством: согласно теореме
4.3 сигналы 1-го блока в базисе получаются из сигнала $і у) с помощью сдвига аргумента на число, кратное Д,/+і.
Количество ортогональных базисов в пространстве Сдг можно значительно увеличить, если формировать базисы из блоков разных уровней. При этом в базис должны включаться только те блоки, которые не подвергаются дальнейшему делению (так называемые «висячие» блоки). Такие базисы получаются ортогональными автоматически: ортогональность сигналов (и — 1)-го уровня известна, а сигналы каждого висячего блока п-го уровня являются линейными комбинациями сигналов некоторого блока {и — 1)-го уровня и по-