Теория регуляризации сдвигом и ее приложения

• Автор: Назимов, Акбар Багадурович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 314 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И АБСТРАКТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1.1. Метод регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных
алгебраических уравнений (конечномерный случай)
§ 1.2. Метод регуляризации М. М. Лаврентьева
§ 1.3. Сходимость регуляризованных сдвигом решений к
нормальному решению
§ 1.4. Непараметрическая регуляризация сдвигом
§ 1.5. Метод регуляризации сдвигом операторных уравнений (бесконечномерный случай)
§ 1.6. Аналог ранговой матрицы для операторов
§1.7. Задача с приближенными данными
ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ Ь -ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
§2.1. Задачи Ь -псевдообращения
§ 2.2. Двойственные задачи Ь -псевдообращения
§ 2.3. Оптимальный порядок сходимости решения задачи
Ь -псевдообращения с приближенными данными
§ 2.4. Оптимальный порядок сходимости метода регуляризации
А. Н. Тихонова
ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИЛЬБЕРТА НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ИХ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ
§ 3.1. Интегральные операторы типа гильберта. Пространства Гёльде-
ра и Лебега
§ 3.2. Частичные суммы Фурье и Фейера
§ 3.3. Признак аппроксимируемости гёльдеровых функций тригонометрическими полиномами

§ 3.4. Инвариантность срезок ряда Фурье
§ 3.5. Представление значений интегральных операторов
§ 3.6. Связь интегральных уравнений с бесконечными системами
§ 3.7. Разрешимость интегральных уравнений
§ 3.8. Доказательство теорем 3.7.1
§ 3.9. Быстрое решение систем линейных алгебраических уравнений с циркулянтными, перциркулянтными и нейтральными матрицами
§ 3.10. Дискретные аналоги интегральных уравнений первого рода
§3.11. Алгоритмы быстрого решения дискретных уравнений
первого рода
§ 3.12. Дискретные аналоги интегральных уравнений второго рода
§ 3.13. Решение дискретных уравнений второго рода
§ 3.14. Приближенное решение абстрактного операторного уравнения
ГЛАВА 4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4.1. Регуляризация сдвигом в регулярном случае
§ 4.2. Регуляризация периодической задачи для скалярных
дифференциальных уравнений
§ 4.3. Регуляризация периодической задачи для систем с
диагональными матрицами
§ 4.4. Регуляризация периодической задачи для систем с нижним
жордановым блоком
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Методы решения некорректно поставленных задач и их устойчивая реализация составляет важное направление в современной вычислительной математике. Развитие общей теории некорректных задач началось более полувека тому назад. Этому способствовали потребности различных областей естествознания, техники и медицины. Это развитие исходит из основополагающих работ выдающихся русских советских математиков
А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, а также созданной ими математической школы. Оно определило пути развития теории и методов решения некорректных задач - одного из самого плодотворных направлений современной вычислительной математики. К настоящему времени создана достаточно общая теория некорректно поставленных задач, разработаны приближенные методы их решения, с помощью которых успешно решены и решаются многие важные прикладные задачи. Важное значение имеет приложение этих теоретических результатов при решении конкретных задач, таких как интегральные и дифференциальные уравнения, возникающие в теории упругости, аэродинамике, теории трещин, а также в других разделах современной математике. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многочисленных ведущих математиков и исследователей других научных областей (астрофизики, механики, геофизики, аэродинамики, теории упругости и др.). Остановимся на некоторые рассматриваемые в работе вопросы более подробно.
1. Самым простым по постановке и одним из важных классов некорректно поставленных задач является проблема решения систем линейных алгебраических уравнений с вырожденной или плохо обусловленной матрицей коэффициентов. Характерными особенностями указанной проблемы является возможная неединственности решения и его неустойчивость. Разработка теории и методов решения этой проблемы связана с именами многих видных математиков. Кроме вышеперечисленных, отметим имена и работы Б. А .Алиева, А. Б. Бакушинско-го, Г. М. Вайникко, В. В. Васина, В. В. Воеводина, С. Ф. Гилязова, А. В. Гон-

В четвертой главе метод регуляризации сдвигом применяется для нахождения периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений и в регулярном и в резонансном случаях:

— = Ах + /(0> 0 < / < 2п, (0.25)

где А - постоянная квадратная матрица порядка N, /(г) е С - заданная вектор-функция, С/1/ = С [0,2л-] - пространство непрерывных 2п -периодических вектор-функций.
Регулярным называется случай, когда у матрицы А не имеется целое чисто мнимое собственное значение, а резонансным - в противном случае. Условие 2л -периодичности решения записывается СЛАУ
2 7Г
[Е-е2яА)х{0) = е2лА е~5А/(з)с1з. (0.26)

В регулярном случае матрица Е-е2жА - невырожденная -е1жА Ф 0 и, следовательно, СЛАУ (0.26) однозначно разрешима для
В резонансном случае матрица Е - е2лА - вырожденная <1е1:(.Е - е2пА ) = 0 и, следовательно, СЛАУ (0.26) разрешима не для всякой правой части /(/) е С , а в случаи совместности она имеет бесчисленно много решений
преодоления этой ситуации рассматривается регуляризация сдвигом системы (0.25)

— = {А + аВ)х + /{г), 0
где В - постоянная квадратная матрица порядка N, а а - произвольное комплексное число - параметр регуляризации. Указан способ выбора матрицы В и доказана сходимость регуляризованных сдвигом решений (0.27) к решениям (0.25), как в регулярном, так и в резонансном случае.