Системы образующих для централизаторов элементов группы кос

• Автор: Гурзо, Галина Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 c. : ил

§ I. Основные понятия и некоторые леммы о равенстве слов в полугруппе г.э
§ 2. Централизаторы элементов вида

§ 3. Централизаторы элементов вида А £ ц и $#,£

§ 4. Централизаторы элементов вида Д
1)П
§ 5. Централизаторы конечных множеств элементов группы кос..83 Литература

ВВЕДЕНИЕ Груша кос Ьм с П + 4 нитью задаётся образующими
^ & п. (
и определяющими соотношениями
@1+1 @1 — @'1+1 @1 @ (1 — £ я) у
а1ауй^а1 ЧЧМ,
Это задание группы кос было предложено Э.Артином в 1926 году [1] . Исследованию групп кос было посвящено большое число
работ разных авторов. Среди них имеются две монографии ([г] , [з])и два обзора (М . V) ■ Интерес к группам кос первоначально был вызван весьма старой и интересной проблемой топологии - проблемой классификации узлов ( см. [в] . [?] , [3]).
Проблема равенства слов в группе кос была решена Артином (М . М)- В работе [9] Чкоу доказал, что центр группы кос порождается элементом ( 0.± О а. ... (X а J п Ф.Гарсайд в работе [ю] решил проблему соцряпённоети, введя при этом очень ванное в исследовании группы кос слово
А -51 а± ... О- ^ о± о.^. •. о ц-1 о. 1 а % а
к доказал, что Л коммутирует со всеми образующими.
В работе [э] Артш! поставил вопрос об описании всех кос, коммутирующих в /Ь'п +1 с данной косой, то есть об описании централизатора данной косы. Исследованию этой проблемы Артина были посвящены работы £[{] и И . В работе [и] было получено некоторое описание нормализаторов для I- -чистех кос. Поня-

тие І -чистой косы было введено Артином. Так он назвал косы , реализующие единичную подстановку и превращающиеся в единичную косу при удалении і -ой нити. В работе Г.С.Маканина был
построен алгоритм для нахождения конечной системы образующих нормализатора любой заданной косы и получена оценка для числа образующих. Однако, этот алгоритм так же, как и результат работы М, не даёт явного описания образующие нормализатора.
В §1 диссертации приводятся основные понятия, относящиеся . к группе и полугруппе кос, доказывается ряд лемм о преобразованиях слов в полугруппе кос. Эти леммы нужны для доказательства основных результатов диссертации, содержащихся в §§ 2-*5.
Пусть 1^1 6. п, обозначим
Лі,; , В--

А 1,^ ^1,^-1'"’’ ^1,1+1 А'1}1
Будем считать, что при 1>^ А у к В ^ I ПуСТЫ. (А С-В §2 доказывается, что централизаторы элементов
(Ау тг-'1>0)
поролщаотся всеми образующими группы ^п->-£отличными от аИ, <2г,С1ь, 1@кн,ж “иедугацЕДи элементами
М,} Аг,к В*,1 , А2,
А и, к. *-1 & *,1-1, М
($4-1,к • А^у ••• ВКун) (1-^*-), С5)
(Вх+±}I... Ьк+р> 1+р~1 )(А... А)({п.-])у

А,< , и слово X начинается с обеих букв <2$
и а^±.
Обозначим
Л * & цйрЬн&чЛ ■
Случай I. Так как- и и I не начинается с Яу+1
при д I к , то по лемме 37 имеем ^'=к и цри некотором
выполнены равенства
X =? Цг,к ... Др,р+и-г) 2

А}-1,к-г+}-1 2 ^ И/£ , (2*
где /,i■t^ и при <^>1+1 слово И не начинается с Очевидно, И не пусто
По. лемме„ 27 % .не может начинаться с букв, отличных
от а 1-1} аь, а и а«+*-•
Если £ не .начинается с О* к+^г , то по лемме. 30 2 начинается с одного из слов 1^, 2^, з), или
гр,1 . Тогда в силу (2.5б) и
8, 9 и 34 ' слово X должно начинаться'с того же слова
1^, 2^, з) или со слова 4а) при
{ Остается случай, когда 2 начинается с .Тогда
■>! по лемме 43 при слово 2 должно начинаться с
а у-1 . Следовательно, имеем Тогда равенство
(.2.57) имеет вид
1,и й нл А 1> к-гп У % ^7, Я
и по леше 43 при некотором 1 выполнены равенства
7 = (а р> г V С2*58)
■4