Представление родом квадратичных форм коразмерности два

• Автор: Куранова, Наталья Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 126 с. : ил.

1. Классификация представлений квадратичных форм
§1. Целочисленные квадратичные формы и их инварианты
§2. Примитивные представления форм
§3. Вложение форм над локальными кольцами
§4. Вес примитивных представлений квадратичной формы родом форм
§5. Вес всех представлений квадратичной формы родом форм
2. Представление бинарных квадратичных форм родом нечетных кватернарных форм
§1. Вес примитивных представлений
§2. Вес всех представлений
§3. Приложение к конкретным формам
§4. Угловое распределение целых точек на
трехмерных сферах
3. Представление бинарных фом родом четных кватернарных форм
§1. Вес примитивных и всех представлений

§2. Представление бинарных форм одноклассными формами Уотсона
§3. Угловое распределение целых точек на

трехмерных эллипсоидах
Литература

1. Одной из центральных задач арифметической теории квадратичных форм является получение формул для числа представлений X формы А положительно определенной формой <2, т. е. нахождение количества решений матричного уравнения
<Э[Х] = *ХдХ = А, X €Ма^т(Щ. (1)
В основе диссертационного исследования лежит задача о представлении родом [<2] квадратичных форм А коразмерности два, при изучении которой выявлен параллелизм арифметических и геометрических свойств квадратичных форм. Уравнение (1) определяет т векторов Х1 Хт с нормами (^[Хг] и скалярными произведениями XtiQXj. Тем самым (1) содержит геометрическую информацию о взаимном расположении целых точек на различных эллипсоидах.
Для алгебраических целей отождествим квадратичные формы с их матрицами. Представление X называется примитивным, если наибольший общий делитель всех миноров порядка т матрицы X равен единице.
Цель работы - найти условия существования представлений р - элементарных форм аА размерности т = п — 2, где параметр а - целое число, (а^йеЬА) — 1; получить формулы для веса рп{аА] [<2]) примиЭто означает, что матрица А имеет над Ър жорданово разложение вида А ~ р цАч, где формы Ад 6 СТ(2р) имеют размерности пд(А) и знаки
ми масштаба д. Условие А ~р А' равносильно рл = р,>.
Для ненулевого а € Ъ и простого р > 2 полагаем а = {а} • 1а]“1,
а. Форма А будет р -элементарной тогда и только тогда, когда р входит в ступень щеу формы в первой степени. Аналогично для определителей невырожденных матриц А € Мт(Жр) полагаем А = {А} • А~1, где АР = detAp. Если а - ступень матрицы А, то |а|“1 является максимальным масштабом д = д(А) в символе (1.41).
По теории приведения над кольцом Ър из [15] можем считать форму А, представленной в виде прямой суммы
и блок А имеет максимальную размерность с условием |Ai| ф 0(modp). Обозначим aiev ступень формы А над Ър.
В (1.13) матрица С рассматривается по mod А, поэтому можем выгде |а|р = р Vp(a'> - р-адическая норма и гДа) - степень вхождения р в
А — Ai ® А>р
(1.42)
с блоком Ср высоты Шр = dimA>p. Имеем
Тогда записываем
где U € GLk{Zp) (1.45)