О последовательностях Штерна-Броко и функции Минковского

• Автор: Душистова, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Содержание
Введение
Благодарности
1 О производной функции Минковского ?(х)
1.1 Основные определения и существующие результаты
1.2 Формулировка основных результатов
1.3 Вспомогательные обозначения и леммы
1.4 Доказательства основных результатов
1.4.1 Доказательство теоремы
1.4.2 Доказательство теоремы
1.4.3 Доказательство теоремы
2 О разбиении отрезка [0,1] , порожденном последовательностями Броко
2.1 Основные определения и формулировки
2.2 Некоторые обозначения и формулировка вспомогательного результата
2.3 Вспомогательные утверждения
2.4 Основная лемма и завершение доказательства теоремы
2.5 Доказательство основного результата
Приложение А: Программа для проверки основания индукции 74 Список литературы

Введение
Одним из важнейших инструментов анализа в теории диофантовых приближений является аппарат цепных дробей. Многие вопросы, связанные со свойствами разложений в цепные дроби вещественных чисел, являются классическими. Основы современной теории цепных дробей восходят к трудам таких математиков, как Л. Эйлер, Дж. JI. Лагранж, А. Лежандр, К.Ф. Гаусс. Систематическое изложение теории ценных дробей имеется, например, в книгах
О. Перрона [1] и А.Я. Хинчина [2]. Другим классическим объектом теории чисел, естественным образом связанным с цепными дробями, являются ряды Фарея. Они появились в 1816 году в работах самого Дж. Фарея [3], а в начале XX века были обнаружены связи вопросов о распределении дробей Фарея со сложными задачами аналитической теории чисел (см., например, [4]). Несколько менее известным объектом являются так называемые последовательности Штериа-Броко, появившиеся в работах М. Штерна [5] и А. Броко
[6] соответственно в 1858 и 1862 годах. Эти последовательности, естественным образом связанные с рядами Фарея, имеют также отношение к широко известной функции Г. Минковского ?(т), рассмотренной им в 1904 году (см.
[7]). Отметим, что функция Минковского ?(т) была переоткрыта А. Данжуа в 1932 году (см.[8]). Позднее функция Минковского была переоткрыта еще несколькими математиками.
Рассмотрим следующий способ построения всех неотрицательных несократимых дробей, носящий название дерева Штерна-Броко. Начнем с двух соседних дробей “и На каждом шаге между двумя соседними дробями и будем записывать их медианту
1>Р'_ Р + Р' q q' q + q'
Например, первый шаг добавляет одну дробь между | и у
0 11 1’ 1’0’

Рис. 1: Дерево Штерна-Броко.

Итак,
Таким образом,
Оценим эти суммы по отдельности.
Лемма 2.2.
Пусть п > 2, а = (01
Доказательство этой леммы приведено в работе [22]. Лемма 2.3.
Для любого п > 1 выполнено
( Лемма 2.2 аналогична лемме 2.3 из работы [22]. )
Доказательство леммы 2.3.
Так как д (а) = {01
2.2, получаем