Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами специального вида

• Автор: Снетков, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 71 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Финитная аппроксимация полугрупп
§ 1. Финитная аппроксимация полугрупп идеальными
гомоморфизмами
§ 2. Некоторые свойства независимого произведения
полугрупп
§ 3. Аппроксимация независимого произведения полугрупп
идеальными гомоморфизмами
§ 4. Финитная аппроксимируемость независимого произведения полугрупп
ГЛАВА 2. Аппроксимация полугрупп характерами
§ 1. Аппроксимация полугрупп характерами относительно единично
идеальных предикатов
§ 2. Аппроксимация компактных топологических полугрупп непрерывными характерами относительно единично идеальных предикатов
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем.
Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, - является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диафантовы приближения, в геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики, в сущности, целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения и интерполирования функции, числовые методы анализа.
Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. С начала СО-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр. Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М. И. Каргаполов [7], А. Ю. Ольшанский [26],
В. П. Платонов [27], В. Н. Ремесленников [30], А. Кемер, С. И. Кублановский, Зайцев, Капель-Белов и других), так и зарубежных (G. Baumslag [37], N. Blacburn [38], W. Magnus [47], R. McKenzie [48], Ph.Holl [43] и других) алгебраистов.
Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлек-

ла внимание многочлисленных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы J. Gerhard, Э. А. Голубова, С. И. Кублановского,
G. Lallement, М. М. Лесохина, С. Г. Мамиконяна, М. В. Сапира и многих дру-

гих исследователей.
Важность введенного академиком А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А. И. Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе [23]. Например, аипроксимационными методами С. И. Кублановским был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп [9]. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп
[32].
Как уже отмечалось выше, целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коплексных чисел. Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст. Шварца, Е. Hewitt и H.Zukerman, М. М. Лесохина, Э. П. Арояна и других.
Ст. Шварц [34] нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е. Hewitt и H.Zu-

1) £Д£ = 1 - подполугруппа в £1.
2) Пусть а £ £1. Докажем, что В(а) коиесно в £1. Если а £ 1, то элемент о имеет конечное множество различных делителей в 1 (предложение 1. 1. 3).
А так как (7 = Ь, то в силу свойства в) разделяющейся е.и.п. множество 0{а) конечно в Еслиа £ С, то любой элемент из 1 не является делителем элемента а в £1. Поэтому -О(а) С С. А так как 67 конечна, то 27(а) конечно в £ь Отсюда следует, что £1 ф.а.и.г. относительно равенства (предложение 1. 1. 3). Аналогично доказывается, что £2 ф.а.и.г. отнгси-тельно равенства. Таким образом, в силу условий 1) и 2) полугруппа £ ф.а.и.г. относительно равенства (предложение 1. 3. 3).
Докажем необходимость. В силу предложения 1. 3. 3 1 и /г ф.а.и.г. относительно равенства как подполугруппы финитно аппроксимируемых полугрупп. Пусть а £ С. Так как (7 - группа, то С С £?(а). Откуда следует, что (7 конечна, так как И (а) конечно. Следствие доказано.
Теорема 1. 3. 1. Пусть £ - независимое произведение полугрупп £1 и £2, К = £1 П £2 = Ь и М[ и М[ и Т = Ь и М и АЦ и Т, Т ф 0. Для того чтобы £ было финитно аппроксимируемо идеальными гомоморфизмами относительно равенства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
г) полугруппы £1 и £2 финитно аппроксимируемы идеальными гомоморфизмами относительно равенства;
гг) если М[ и М{ = М12 и М£ Ф 0, то оба мпоо/сества £1 К и £г-А конечные;
Иг) если Ь ф 0, то (£ДК) и Т - подполугруппа в или (£2К) и Т - подполугруппа в £2;
ги) любой элемент из Т, кроме, может быть, нуля, имеет конечное множество различных делителей в £.
Доказательство следует из предложений 1. 1. 4, 1. 3. 2 и 1. З.’З.