Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями

• Автор: Белоусов, Григорий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с. : ил.

Оглавление
Глава 1. Введение
Глава 2. Вспомогательная часть
1. Обозначения и определения
2. Вспомогательные теоремы
3. Неособые поверхности дель Пеццо
4. Особенности поверхностей
5. Поверхности дель Пеццо с особенностями
6. Неравенство Богомолова-Миаоки-Яу
Глава 3. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо
1. Формулировка теоремы и необходимые результаты
2. Доказательство основной теоремы: случай С + В + Кх Д 0
3. Доказательство основной теоремы: случай С + + Кх = 0
Глава 4. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо. Другое
доказательство основного результата
1. Предварительные результаты
2. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет
циклические факторособенности
3. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет
нециклическую факторособенность
Глава 5. Поверхности дель Пеццо с особенностями, допускающие
действие простой группы
1. Введение
2. Предварительные результаты
3. Группы Клейна и Валентинера
4. Знакопеременная группа 21й
Список литературы

Глава
Введение
Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор Вейля —Кх является обильным дивизором <Ц>-Картье.
Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей (см., например, [211). Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностыо по конечной группе (см. [20, теорема 9.6]).
Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей (см., например, [43], [44], [31]). Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя [12] и работы Демюзара [10], Наруки и Урабе [32], Биндшадлера, Брен-тона и Дрюкера [5]. В частности, такие поверхности полностью классифицированы (см., например, [13], [26] для случая поверхностей с числом Пикара 1).
Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (см., например, [26], [13]). В работе Алексеева-Никулина [38] классифицированы все поверхности дель Пеццо индекса 2.
Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу (см. [39], [27], [35], [34], [28], [19]) рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена [22] доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар [24] поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерминальные особенности и, количество особых точек

которых равно пяти. В работе [18] эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом. Теорема 1.1 решает проблему Коллара в случае, когда —Кх ~ обилен. Данная проблема тесно связана с алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии (см. [24]).
Основной результат главы 3 состоит в следующем:
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Питра 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек.
Замечание 1.2. Эту оценку нельзя улучшить, поскольку существуют многочисленные примеры поверхностей дель Пеццо с четырьмя логтерминальными особыми точками (см. [26], [37]).
В главе 3 мы дадим доказательство теоремы 1.1, основанное на бира-циональных перестройках и на неравенств Богомолова-Миаоки-Яу.
В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы 1.1, основанное на применении “орбифолдовой” версии теоремы Римана-Роха (см. [40]) и на бирациональных преобразованиях.
Оба эти докозательства имеют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования поверхностей дель Пеццо.
В главе 5 мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы G на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства IP]) называется группой Кремоны над полем к и обозначается Сг„(&). Группа Кремоны Сщ (к) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Сг±{к) изоморфна PSh2{k). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать Сщ. Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны (см. теорему 2.29). Следовательно, группа G содержится в Сг2, где Сг2 — двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сгг классифицированы в работе [11]. Согласно [11], в Сг2 существуют три конечные простые подгруппы: 215, 216 и Gxes — PSL2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.
Основной результат главы 5 состоит в следующем:
ТЕОРЕМА 1,3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть G С Aut(X) — конечная простая группа.
(1) Если G ü 2ls и p(X)G — 1, то возможны только следуюьире пять случаев:
• X ~ Р2.
Пусть е = 3. Тогда можно раздуть точку пересечения С с Д и получить противоречие с леммой 3.4.
Пусть е = 2 и 1)2 ■ А] = Рз ■ Д] = 1. Тогда Д • Д = Д ■ Д = 1. Так как кривая С пересекает две связные компоненты Д то остальные три лежат в слоях Ф. Заметим, что все слои, в которых лежат эти три компоненты, имеют тип (с) из леммы 3.6, но по этой лемме (пункт (1)) их не более одного. Противоречие.
Пусть е = 1 и Д • Д = 1. Отсюда Д • Д = 1. Отсюда и из леммы 3.6 получаем, что все слои имеют тип (а) или (Ь) из леммы 3.6, но тогда их не менее четырех. Следовательно, Д имеет, как минимум, четыре пересечения с Р — Д. Противоречие.
Случай е = 0 — невозможен, в силу леммы 3.6(1).
2.) П = —3. При этом Д изолирована в Д Стянем С + Д. Тогда образ Д станет (—1)-кривой. Из леммы 3.5 следует, что существует дивизор Я (возможно Я — 0), состоящий из (—2)-кривых, такой, что после стягивания Д + Я, затем стягивания дивизора, состоящего из всех рациональных кривых с индексом самопересечения не больше —2. Мы получим рациональную поверхность с логтерминальными особенностями. Из леммы 3.9 следует, что эта поверхность является поверхностью дель Пеццо, как минимум, с пятью логтерминальными особенностями, но с меньшим числом компонент исключительного дивизора. Повторяя для неё то же рассуждение, мы снова придем к поверхности дель Пеццо с пятью логтерминальными особенностями и с меньшим числом компонент исключительного дивизора. Этот процесс должен оборваться. Противоречие.
Таким образом, теорема 3.1 полностью доказана.