Вычисление норменных рядов в формальных модулях Хонды и спаривания Гильберта в формальных модулях Любина-Тейта над многомерным локальным кольцом

• Автор: Афанасьева, Софья Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 75 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Определения и вспомогательные результаты
1.1. Формальные группы
1 2. Спаривание Гильберта
Глава 2 Норменные ряды
2.1. Норменные ряды для формальных групп Хонды над кольцом целых одномерного локального поля
2.2. Норменные ряды для формальных групп Хонды над кольцом целых многомерного локального поля
Глава 3 Явная формула спаривания Гильберта для формальных групп Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля
3 1. Дополнительные обозначения
3.2. Случай нулевой характеристики предпоследнего поля вычетов. 51 3 3. Случай конечной характеристики предпоследнего поля вычетов
3.4. Основной результат
Литература

Введение
Диссертационная работа содержит два раздела. Первый посвящен изучению норменных рядов, возникших в связи с необходимостью обобщения соотношения Стейнберга на спаривания с формальными модулями. Пусть ко - одномерное локальное поле нулевой характеристики (конечное расширение поля р-адических чисел (0>р), содержащее группу цдг корней степени N из 1. Хорошо известно, что символ норменного вычета Гильберта (■, -)лг : к^хк*) —> ддг удовлетворяет соотношению Стейнберга
(см., например,[18]). С помощью отображения взаимности спаривание Гильберта можно обобщить на формальные модули. Для мультипликативной группы соотношение (1) принимает вид
для любого элемента а из формального модуля. Наиболее близкими по структуре к мультипликативной группе являются формальные группы Любина-Тей-та. В 1978 г. С. Ленгом (см. [28]) была сделана попытка обобщить свойство (1) на формальные группы Любина-Тейта. Но, далее, в работе 111] И. Б. Фе-сенко и С. В. Востоковым было показано, что любое спаривание, которое удовлетворяет соотношению (2) для любой формальной группы Любина-Тейта, является вырожденным, т.е. соотношениее Стейнберга в виде (2) верно не для всех формальных групп. Пусть
• F- формальная группа над кольцом целых СД0 поля ко.
• По - простой элемент Окд.
• [это] - соответствующая изогения формальной группы, [этД']-ее /V-ая сте-
(а, 1 — а)х — 1, а^0,

[а, аОддг — О

пень.

• к - конечное расширение поля ко, содержащее группу корней изогении [Ко].
• ЭДф - максимальный идеал кольца целых поля к.
• Л(9Лф - соответствующий формальный О^0- модуль.
В.А. Колывагиным(см. [19]) был указан метод построения таких рядов г(Х) из ХО^ЦХ]], что ?’'(0) 6 0*кд и для любого расширения к, содержащего все корни изогении [7Го^] имеет место:
(г(а), = О
для всех а из А(9Л*,). Такие ряды г были названы А-- норменными. Пусть д(Х) = а,Х + й2Х2 + ... некоторый ряд из АСф,[[А]], и оц - обратим в Ок0. Рассмотрим ряд й(А) = ПуеКсгК'] д{Р'{Х, и)). В [19, Предложение 1.3] было показано, что ряд б(А) принадлежит СффА]] и имеет вид гд([7Гд^](Х)), где гд(Х) - определен однозначно для ряда д(Х) и является А- норменным. Таким образом был предложен способ построения А-норменных рядов, но неизвестно все ли А-норменные ряды могут быть получены таким образом.
В настоящей работе изучаются норменные ряды для аддитивного формального аргумента, т.е. рассматриваются ряды <д(А), для которых (а, (р(а))^дг = 0 при всех а из формального модуля. В данной работе норменными степени А будем называть именно такие ряды (а не относительно мультипликативного аргумента, как в работе [19]) . Абсолютно норменными будем называть ряды, которые являются норменными степени А при всех А ^ 1. С. В. Востоковым и Р. Перлисом изучались норменные ряды для формальных групп Любина-Тейта (см. [13]), в их работе были получены необходимые и достаточные условия норменности ряда, а в работе [15] результаты работы [13] обобщаются на случай мультипликативной группы многомерного локального поля. В настоящей работе (см. главу 2) тем же образом, что и в
Фдг — Аг+1 — (2'13)
Р *=1 7=1 Р
г?(а) = к^о^/о^) для а € П,

Пп+1 = (М(аг 3/саг)1^,)/с^п, (2.20)
а11д а оц <9поц
II сГ О^Дс^а,-! ■ «Гид 0»<4
«пА'Э 1<*п • Д(ЛЛ'0/3)Д5 . • а~А:,дпа^ ■ <ЭП(А;У о/3)А'
Здесь и далее
{#«, 1 ^ г ^ гг - 1 ^-уО;, г та.
Спаривание [-, -]др определено корректно (см [5]) и индуцирует спаривание [•, -}рг : Кп{Н) X ДДЯД Далее была доказана следующая теорема:
Теорема 6. Символ Гильберта
{■г}%к ■■KnP(K)xFN(mк)^VVF имеет следующую явную формулу

{а,(3} =< а,Р>= ^ [Тг^/З^Ыя)-
7=1-(С