Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних

• Автор: Сидоров, Дмитрий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 44 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Условия перемешивания последовательностей скользящих средних
§ 1. Введение и формулировка основных результатов
1.1. Скользящие средние, не удовлетворяющие условиям перемешивания .
1.2. Скользящие средние с ^-перемешиванием
§ 2. Доказательство основных результатов
2.1. Доказательство теоремы 1
2.2. Доказательство теоремы 2
2.3. Доказательство теоремы 3
2.4. Доказательство теоремы
ГЛАВА 2. Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних
§ 1. Центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних
§ 2. Аппроксимация распределений канонических II- и ^-статистик
§ 3. Доказательство основных результатов
3.1. Моментное неравенство
3.2. Доказательство теоремы 5
3.3. Доказательство теоремы 6
3.4. Доказательство теоремы 7
3.5. Доказательство теоремы 8
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию предельных распределений аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних. В первой части диссертации изучаются формы зависимости таких наблюдений. Во второй части доказана центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних и исследуются предельные распределения II- и И-статистик.
Пусть {£.,•; ] Е Щ - последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве, {а^; у £ X} - некоторые вещественные числа, где Ъ -множество всех целых чисел.
Определение 1. Скользящие средние {X*,; к 6 2}, порождённые последовательностью {£,•}, определяются равенством

Предполагается, что ряд в (1) сходится с вероятностью 1. В частности, это будет выполнено,если
Если же случайные величины {£,; j є 2} независимы, имеют конечный второй момент и центрированы, то для сходимости ряда в (1) достаточно потребовать более слабое условие
Отметим, что если порождающие случайные величины {^} образуют стационарную последовательность, в частности, если они независимы и одинаково распределены, то скользящие средние в (1) также представляют собой последовательность стационарно связанных случайных величин. Отметим также, что любая стационарная гауссовская последовательность {Х^} с абсолютно непрерывной спектральной

функцией может быть представлена в виде (1), где {£.,■} - независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины.
Если множество отличных от нуля коэффициентов a,j в (1) конечно, то при условии независимости порождающих случайных величин {£,•} последовательность {А*,} представляет собой совокупность m-зависимых случайных величин. Если множество А0 {j G Z : a.j Ф 0} бесконечно, то зависимость между частями последовательности {А*,} может быть достаточно сильной, и, в частности, классические условия перемешивания Розенблатта и Ибрагимова для нее могут не выполняться [5,6,8,13].
Пусть Atœ = a{Xj,j < k} и А^.т = a{Xj,j > k + m} <т-алгебры, порождённые соответствующими наборами случайных величин.
Определение 2. Последовательность {А*,} удовлетворяет условию перемешивания Розенблатта (сильное или а-перемешивание), если при т —*■ оо
а{т):= sup |Р(£ П А) — Р(£)Р(Л)| —* 0.
k&,AeAt^,BeAf+m
Определение 3. Последовательность {X*,} удовлетворяет условию перемешивания Ибрагимова (так называемое равномерно сильное или ip-пер вмешивание), если при т —> оо
, |Р(£гпЛ)-Р(5)Р(А)| п
<р(т) := sup ——------------» 0.
keZ,AeAtao,BeA%.,n,P(A&
Условие a-перемешивания было предложено М. А. Розенблаттом в 1956 году [22]. Применимость этого условия к последовательностям скользящих средних исследовалась в работах [5,14,16]. Результат в наиболее общей форме был получен в [16], где описан подкласс скользящих средних со свойством «-перемешивания. Основным условием в [16] на распределение случайных величин при этом является наличие плотности p(t), удовлетворяющей условию Липшица в среднем: J p(t + x) —p(t)dt < Сх. Кроме этого, коэффициенты aj должны удовлетворять определённым условиям, в частности, требуется сходимость ряда:

£{5>Мь£Х1}
k>0 j>k j>k

< оо.
Следовательно, равномерно по М

>*«• А Е«*

1=0 1=
Аналогично доказывается сходимость при М —> оо

£а*£ £* £да‘,„.
■£—^ М—»оо
/=0 г=

Тогда существует и двойной предел 1пп£2 X) А-^1лг> и он совпадает с
jv.m-.oo ;=о
р(Аа,.) = Пть

М-°° ^=
Можно считать, что = 0. Введём следующие обозначения

дм(х) := £Дж'

/ V 1 т?ЛЛГ/
А&,^ := <7(А*) — д (Хк'н) + Ед (А^-),
Ацлг.м '■= А^.дг — Хк,м = 9М{Хк,м) ~ ^дМ(Хк,м) ~ д‘У(Хк']ч) + Ед1^(А*,^).
Тогда
75 Е »<« - 75 Ё (»"(Зд - %"№.»>) - 4 Е
* &=1 Л=1

Докажем равномерную малость по п величины ^ ]£ ^ь,лг при N —> оо :

^ п п п
О—соу{2о,л?, А/ь:дг) = ]£ сои(Ао,лг,М) А*,,,л/,м)
к—1 к=—п к——п

+ соу(Ио^ ~ А0,лг,м, А^дг.м) + ]£ с<п){Хо,дг, — Хк^,м)- (40)
к=—п к=—п
Оценим сумму
£ |сои(2’о,лг,м. А^^,м)| < £ £ [АД
'ГП| | (2г1 . . . 0-^0^ • • ■
к~—П к=—П М<тпах/,|1Г|<М
7У<тахт,Ьг|<М
Х *1 * ■ * С-г^Аг-л ■ • ^k-Jm Е£_г1 . . . £_ггЕ£/с_л . . £/г-^т |- (41)